Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1.
Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.
Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.
Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.
Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
Если посмотрите на чертеж, то всё довольно прозрачно.
Нам фактически задана СН (это 1/2 - 1/3 = 1/6 от длины хорды), а ОН легко вычислить, она равна 3 ( тр-к АНО прямоугольный со сторонами 5, 4, и, конечно, 3);
Из рисунка понятно, как составить уравнение на радиус окружности.
O1K II AB, O1CHK - прямоугольник. О1ОК и есть треугольник (прямоугольный), из которого находится r. Причем уравнение получается даже не квадратное - вторая степень r сокращается.
(R - r)^2 = CH^2 + (r + OH)^2;
R^2-2*R*r = CH^2 + OH^2 +2*OH*r; Любопытно, что СН^2 + OH^2 = OC^2;
r = (1/2)*(R^2 - OC^2)/(R+OH). Это уже ответ. Давайте вычислим.
СH = 8/6 = 4/3; OH = 3; OC^2 = OH^2 + CH^2 = 16/9 + 9; R + OH = 8;
r = (1/2)(25 - 9 - 16/9)/8 = 16*(1- 1/9)/16 = 8/9
Можно ввести более общий случай, если заданы R, расстояние ДО хорды H и расстояние X от СЕРЕДИНЫ хорды до точки касания малой окружностью.
Тогда
r = (1/2)(R^2 - X^2 - H^2)/(R+H);
Опять таки, X^2 + H^2 = CO^2 (квадрат расстояния от центра большой окружности до точки касания)