Question

В плоскости даны четырехугольник ABCD и точка M. Докажите, что точки, симметричные точке M относительно середин сторон этого четырехугольника, являются вершинами параллелограмма

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся, как доказать, что вершины симметричных точек относительно середин сторон четырехугольника ABCD образуют параллелограмм.

Для начала, нам понадобится знание о параллелограммах. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

В данном случае, нам нужно доказать, что точки A', B', C' и D' (т.е. симметричные точки относительно середин сторон четырехугольника ABCD) образуют параллелограмм.

Для доказательства этого факта, мы должны проверить два важных свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны.
2. Противоположные стороны равны.

Давайте начнем с первого свойства.

1. Противоположные стороны параллельны:
Для начала, мы знаем, что серединные точки сторон параллелограмма делят их на две равные части. Точка M - симметричная точка относительно середины стороны, следовательно промежуточные отрезки AM и DM равны, и BM и CM тоже равны.

Рассмотрим отрезки A'C' и B'D'. Так как AM = DM и BM = CM, то по свойству симметричности прямой A'C' параллельна прямой BM, и B'D' параллельна прямой AM.

Теперь рассмотрим отрезки A'B' и C'D'. Снова, по свойству симметричности, прямая A'B' параллельна прямой DM, и C'D' параллельна прямой CM.

Мы получили, что прямые A'C' и B'D' параллельны, а также прямые A'B' и C'D' параллельны. Следовательно, мы доказали первое свойство параллелограмма.

2. Противоположные стороны равны:
Для доказательства этого свойства, нам нужно использовать теорему о средних линиях четырехугольника. Согласно этой теореме, сумма длин средних линий параллелограмма равна полупериметру четырехугольника ABCD.

Поскольку A'C' параллельна BM, и B'D' параллельна AM, то они являются средними линиями для треугольников ABM и ADM соответственно.

Таким образом, AC' + C'D' = AB + BM и BD' + A'B' = AD + AM.

Раз AC' + C'D' = BD' + A'B' (по свойству параллелограмма), и AB + BM = AD + AM, мы можем заключить, что AC' + C'D' = BD' + A'B'.

Следовательно, мы доказали второе свойство параллелограмма.

Итак, мы доказали, что точки A', B', C' и D' являются вершинами параллелограмма.

Это завершает наше доказательство. Мы показали, что вершины симметричных точек относительно середин сторон четырехугольника ABCD образуют параллелограмм.

Я надеюсь, что мое объяснение было понятным. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.