Question

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности больше радиуса окружности,вписанной в этот шестиугольник,на 1.
Найдите сторону данного шестиугольника.

Answer 1

1)
R- радиус окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной а
$R = \frac{a}{2 \sin( \frac{180}{n} ) }$
$R(6угольника)=\frac{a}{2 \sin( \frac{180}{6} ) } = \frac{a}{2 \sin(30) } = \frac{a}{2 \times \frac{1}{2} } = a$

2)
r- радиус окружности вписанной в правильный n-угольник со стороной а
$r = \frac{a}{2tg( \frac{180}{n}) }$
$r(6угольника) = \frac{a}{2tg( \frac{180}{6}) } = \frac{a}{2tg(30)} = \frac{a}{2 \times \frac{1}{ \sqrt{3} } } = \frac{ \sqrt{3} a}{2}$
3)
$R=r+1 \\ a = \frac{ \sqrt{3}a }{2} + 1 \\ a - \frac{ \sqrt{3}a }{2} = 1 \\ (1 - \frac{ \sqrt{3} }{2} )a = 1 \\ a = \frac{1}{1 - \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{1}{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} } = \frac{2}{2 - \sqrt{3} } = \frac{2 \times (2 + \sqrt{3)} }{(2 - \sqrt{3} ) \times (2 + \sqrt{3}) } = \frac{4 + 2 \sqrt{3} }{4 - { \sqrt{3} }^{2} } = \frac{4 + 2 \sqrt{3} }{4 - 3} = 4 + 2 \sqrt{3}$

$ответ: \\ a = 4 + 2 \sqrt{3}$
или приблизительно 7,4641