ЛЮДИ ДОБРЫЕ!!Точка М равноудалена от всех сторон прямоугольного треугольника и находится на расстоянии 4 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если его гипотенуза на 3 см и 6 см больше от катетов.
Расстояние от точки М до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра, основание которого - центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник. т.к. раз точка равноудалена от сторон треугольника, то наклонные ММ₁=ММ₂, значит, равны и их проекции, т.е. от сторон треугольника АВС равноудалена и точка О, значит, точка О-это центр вписанной окружности, по свойству касательной ОМ₁⊥ВС, радиус легко найти из соотношения r=(a+b-c)/2, стороны треугольника ищем по теореме Пифагора, для этого приходится решать квадратное уравнение, я его решил по Виету, хотя можно было и через дискриминант ,кому как удобнее, а затем из прямоугольного треугольника МОМ₁ нашел искомое расстояние, еще раз применив теорему Пифагора. Более детально во вложении.
Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О. ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО) ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО) ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО) ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО) Оскільки Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО. А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме ОК=ОР, а ОН=ОМ. Нехай ОН=ОМ=Х см, тоді ОК=ОР=Х+5 см (по умові задачі сказано, що точка перетину діагоналей прямокутника лежить на відстані від більшої сторони на 5 см ближче, ніж від меншої).
У прямокутника протилежні сторони рівні. АВ=СД=ОН+ОМ=Х+Х=2Х см ВС=АД=ОР+ОК=(Х+5) +(Х+5)=2Х+10 см Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника Периметр = АВ+ВС+СД+АД=44 см Отже 2Х+(2Х+10) + 2Х+(2Х+10)=44 8Х+20=44 8Х=24 Х=3 см Виходить, що АВ=СД=2Х=2*3=6 см ВС=АД=2Х+10 =2*3+10=6+10=16 см
Відповідь: сторони прямокутника АВ=СД=6 см та ВС=АД=16 см
Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О. ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО) ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО) ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО) ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО) Оскільки Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО. А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме ОК=ОР, а ОН=ОМ. Нехай ОН=ОМ=Х см, тоді ОК=ОР=Х+5 см (по умові задачі сказано, що точка перетину діагоналей прямокутника лежить на відстані від більшої сторони на 5 см ближче, ніж від меншої).
У прямокутника протилежні сторони рівні. АВ=СД=ОН+ОМ=Х+Х=2Х см ВС=АД=ОР+ОК=(Х+5) +(Х+5)=2Х+10 см Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника Периметр = АВ+ВС+СД+АД=44 см Отже 2Х+(2Х+10) + 2Х+(2Х+10)=44 8Х+20=44 8Х=24 Х=3 см Виходить, що АВ=СД=2Х=2*3=6 см ВС=АД=2Х+10 =2*3+10=6+10=16 см
Відповідь: сторони прямокутника АВ=СД=6 см та ВС=АД=16 см
Расстояние от точки М до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра, основание которого - центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник. т.к. раз точка равноудалена от сторон треугольника, то наклонные ММ₁=ММ₂, значит, равны и их проекции, т.е. от сторон треугольника АВС равноудалена и точка О, значит, точка О-это центр вписанной окружности, по свойству касательной ОМ₁⊥ВС, радиус легко найти из соотношения r=(a+b-c)/2, стороны треугольника ищем по теореме Пифагора, для этого приходится решать квадратное уравнение, я его решил по Виету, хотя можно было и через дискриминант ,кому как удобнее, а затем из прямоугольного треугольника МОМ₁ нашел искомое расстояние, еще раз применив теорему Пифагора. Более детально во вложении.
ответ 5 см.