Теорема косинусов для треугольника AМC
AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC
Теорема косинусов для треугольника BМC
BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC
AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2
AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC
AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC
АМ и ВM знаем
22^2-2*22*CM*cosAMC=1010^2-2*1010*CM*cosBMC
484-44*CM*cosAMC=1020100-2020*CM*cosBMC
Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.
Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120
484-44*CM*cos120=1020100-2020*CM*cos60
484-44*CM*(-1/2)=1020100-2020*CM*1/2
484+22*CM=1020100-1010*CM
988*CM=1019616
СМ=1032
ответ: 1032
Чтобы найти координаты центра заданной окружности надо решить систему: у = х
(х-2)²+(у-5)²=(√5)². Вместо у подставим х, раскроем скобки и приведём подобные.
х²-4х+4+х²-10х+25 = 5,
2х²-14х+24 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-14)^2-4*2*24=196-4*2*24=196-8*24=196-192=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-(-14))/(2*2)=(2-(-14))/(2*2)=(2+14)/(2*2)=16/(2*2)=16/4=4;
x₂=(-√4-(-14))/(2*2)=(-2-(-14))/(2*2)=(-2+14)/(2*2)=12/(2*2)=12/4=3.
Координаты по оси Оу равны координатам по оси Ох.
Имеем 2 центра окружности: (4; 4) и (3; 3).
Получили 2 точки для центра окружности, поэтому и 2 решения:
(х-4)²+(у-4)² = 5,
(х-3)²+у(-3)² = 5.