На стороне AB треугольника ABC выбрана произвольная точка K. Точка L на стороне BC такова, что BLCL=2⋅BKAK. Докажите, что прямая KL проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки K.
Призма с прямоугольным треугольником в основании , так как AB^2+BC^2=AC^2 поместим центр координат в точку В, ось X - ВА, ось У - ВС, ось Z - ВВ1 Координаты интересующих точек A1(1;0;1) B(0;0;0) C1(0;1;1) B1(0;0;1) Плоскость A1BC1 проходит через 0 - посему ее уравнение ax+by+cz=0 подставим координаты точек в уравнение a+c=0 b+c=0 положим a=1 тогда с=-1 b=1 x+y-z=0 Нормализованное уравнение плоскости k=√(1+1+1)=√3 1/√(3)x+1/√(3)y-1/√(3)z=0 подставим координаты точки B1(0;0;1) в нормализованное уравнение l =| -1/√3 |= √3/3 - это искомое расстояние до плоскости.
Обозначим точки пересечения прямой, параллельной АВ,
с АС - К, с ВС -М.
Примем площадь ∆ АВС=S , площадь ∆ СКМ=S₁, площадь четырёухугольника АКМВ=S₂
Тогда S=S₁+S₂
По условию S₁=2 S₂, след. S₂=0,5S₁
Выразим площадь ∆ АВС через S₁
S=S₁+0,5S₁=1,5S₁
КМ║АВ,⇒ треугольники АВС и КМС подобны ( соответственные углы при КМ и АВ равны, угол С - общий).
Отношение их площадей 1,5S₁:S₁=1,5 или 3/2
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров.
k²=3/2
k=√(3/2)
CM:BM=√3:√2 – это ответ.