В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до сторон квадрата не зависит от выбора точки на окружности. Найти эту сумму, если сторона квадрата равна 2a
Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Высоту этого треугольника ВН найдем через площадь: h= 2S/а, где S - площадь, а - сторона, к которой проведена высота. ВН = 2*48/12 = 8 см. Боковые стороны АВ и ВС равны по Пифагору √(ВН²+АН²) = √(8²+6²) =10 см.
Опустим перпендикуляры из точек А, Н и С на плоскость β. Эти перпендикуляры АЕ, НD и СF равны расстоянию от прямой АС до плоскости β (5 см - дано) в силу параллельности плоскости β прямой АС.
Угол наклона боковой стороны АВ треугольника к плоскости β - это угол наклонной АВ к плоскости, равный углу между наклонной АВ и ее проекцией ВЕ на эту плоскость.
В прямоугольном треугольнике АВЕ гипотенуза AВ=10 см, а катет АЕ=5 см. Синус угла АВЕ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть Sina = 5/10 = 1/2, а сам угол равен 30°.
Так как треугольники АВЕ и СВF равны по катету и гипотенузе, то и углы наклона сторон АВ и СВ к плоскости β равны.
ответ ABCD - трапеция (AB=CD) L A = L D = 45 град. => L B = L C = 180 - L A = 180 - 45 = 135 град. L BAC = L CAD = L A /2 = 45/2 = 22,5 град. L DCK = L KCB = L C /2 = 135 /2 = 67,5 град. Треугольник CKD: L C = 45 град. L DCK = 67,5 град. => L CKD = 180 - (L C + L DCK) = 180 - (45 + 67,5) = 67,5 град. => CD = KD (треугольник CKD равнобедренный) Треугольник ACK: L CAK = L CAD = 22,5 град. L AKC = 180 - L CKD = 180 - 67,5 = 112,5 град. => L ACK = 180 - (L CAK + LAKC) = 180 - (22,5 + 112,5) = 45 град. Треугольник ABC: L BAC = 22,5 град. L B = 135 град. => L ACB = 180 - (L BAC + L B) = 180 - (22,5 + 135) = 22,5 град. => AB = BC (треугольник АВС равнобедренный Трапеция равнобедренная => AB = BC = CD = KD => CD // BK => BCDK - ромб (BC // DK и CD // BK и cтороны равны) => в трегольнике ABK стоороны AB = BK => площадь трапеции = сумме трех равных треугольников: ABK, BKC и KCD => ABK = S трап / 3 = (3 + 2V2) /3 => S (ABQ) = 1/2 * S (ABC) = 1/2 * (3 + V2)/3 = (3 + V2) /6 - площаль ABQ
Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Высоту этого треугольника ВН найдем через площадь: h= 2S/а, где S - площадь, а - сторона, к которой проведена высота. ВН = 2*48/12 = 8 см. Боковые стороны АВ и ВС равны по Пифагору √(ВН²+АН²) = √(8²+6²) =10 см.
Опустим перпендикуляры из точек А, Н и С на плоскость β. Эти перпендикуляры АЕ, НD и СF равны расстоянию от прямой АС до плоскости β (5 см - дано) в силу параллельности плоскости β прямой АС.
Угол наклона боковой стороны АВ треугольника к плоскости β - это угол наклонной АВ к плоскости, равный углу между наклонной АВ и ее проекцией ВЕ на эту плоскость.
В прямоугольном треугольнике АВЕ гипотенуза AВ=10 см, а катет АЕ=5 см. Синус угла АВЕ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть Sina = 5/10 = 1/2, а сам угол равен 30°.
Так как треугольники АВЕ и СВF равны по катету и гипотенузе, то и углы наклона сторон АВ и СВ к плоскости β равны.
ответ: искомый угол α = 30°.