Question

Определить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между директрисами равно $\frac{32}{5}$ и эксцентриситет е= $\frac{5}{4}$ .

$Определить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между директрисами равно и эксцентрис$

Answer 1

Дорогой школьник,

Для определения канонического уравнения гиперболы, у нас есть две важные информации: расстояние между директрисами и эксцентриситет. Давайте разберемся, как использовать эти данные для нахождения канонического уравнения.

Первым шагом будет определение координат директрис. Директрисы гиперболы располагаются вне гиперболы и являются фокусными точками, так что расстояние между ними равно 2ae, где "a" - полуось гиперболы, а "e" - эксцентриситет. В нашем случае, расстояние между директрисами равно $\frac{32}{5}$, а эксцентриситет $\frac{5}{4}$.

Используя формулу, мы можем записать следующее уравнение:

2ae = $\frac{32}{5}$

2 * a * $\frac{5}{4}$ = $\frac{32}{5}$

Из этого уравнения, мы можем выразить "a":

a = $\frac{16}{5}$

Теперь, чтобы найти полуоси "b", мы можем использовать связь между "a", "b" и эксцентриситетом следующим образом:

c = ae

В нашем случае, эксцентриситет равен $\frac{5}{4}$, а "a" равно $\frac{16}{5}$. Заменяя эти значения в уравнение, мы получим:

c = $\frac{16}{5}$ * $\frac{5}{4}$

c = 4

Таким образом, фокусное расстояние "c" равно 4.

Теперь мы имеем все данные, необходимые для записи канонического уравнения гиперболы:

Для горизонтальной гиперболы:
(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1

Для вертикальной гиперболы:
(y-k)^2/a^2 - (x-h)^2/b^2 = 1

где (h, k) - координаты центра гиперболы.

Так как мы не имеем информации о центре гиперболы в данной задаче, мы используем пространство точек (0, 0) в качестве центра.

Так как фокусное расстояние "c" равно 4, это означает, что 2ae = 4. Заменяя значения "a" и "e", мы получаем:

2 * $\frac{16}{5}$ * $\frac{5}{4}$ = 4

16 = 20

Это уравнение является ложным, что означает, что данные, предоставленные в вопросе, противоречивы. Нет такой гиперболы, в которой расстояние между директрисами было бы $\frac{32}{5}$, а эксцентриситет - $\frac{5}{4}$.

Пожалуйста, обратитесь к своему учителю или преподавателю для получения дополнительной помощи или проверки задачи.

С наилучшими пожеланиями,
Ваш учитель.