Из точки А к окружности с центром О проведены касательная АВ и секущая АС, проходящая через О. Известно, что АВ = 15, CD – AD = 7. Найдите радиус окружности.
Трапеция АВСД. Угол АВД - прямой. Треугольник АВД - прямоугольный, АВ и ВД - катеты, АД - гипотенуза, ВН - высота этого треугольника и высота трапеции. Высота из прямого угла к гипотенузе делит ее на отрезки, которые являются проекциями катетов треугольника на гипотенузу.
АН - проекция боковой стороны АВ ( и катета треугольника АВС) на АД.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. ⇒ ВД²=АД*ДН Пусть ДН=х Тогда АД=7+х 144=(7+х)*х ⇒ х²+7х-144=0 Решив квадратное уравнение, получим х₁=9 х₂=-16 ( не подходит) НД=9 АД=7+9=16 см Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой: ВН²=АН*НД ВН²=7*9=63 ВН=√63=3√7 см..
Цитата: "центр О вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является и биссектрисой и медианой. Значит центр О вписанной окружности лежит на высоте. Тогда радиус вписанной окружности является катетом прямоугольного треугольника, вторым катетом которого является половина основания. Пусть R = половине основания, тогда прямоугольный тр-к будет равнобедренным и половина угла при основании будет равна 45°. Угол при основании тогда =90°, что невозможно. Итак, радиус не может быть равен половине основания, значит и диаметр впмсанной окружности всегда меньше основания данного нам равнобедренного тр-ка, что и требовалось доказать..
Объяснение:
Пусть CD=x, тогда AD=x-7, а AC=CD+AD=x+x-7=2x-7
AB²=AD*AC
225=(x-7)(2x-7) 225=2x²-21x+49
2x²-21x-176=0
D=21²+8*176=441+1408=1849
x=(21+43)/4=64/4=16
CD/2=r
r=16/2=8