Объяснение:
82.
AB=BC ⇒ ΔABC - равнобедренный (по определению) ⇒ ∠BAC=∠BКА (по теореме о равнобедренном треугольнике)
О - точка пересечения AK и CE
Рассмотрим ΔAEK и ΔCKA
1) ∠BAC=∠BКА (из доказательства выше)
2) AE=CК (по условию)
3) АС - общая
⇒ ΔAEK=ΔCKA (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ равенство элементов ⇒ АO=OC ⇒ ΔAOC - равнобедренный (по определению) ⇒ ∠КАС=∠ЕКА (по теореме о равнобедренном треугольнике))
∠КАС=∠ЕКА ⇒ ∠ВАК=∠ВСЕ
Рассмотрим ΔAВK и ΔCВЕ
1) ∠ВАК=∠ВСЕ (из доказательства выше)
2) AК=CЕ (из равенства ΔΔAEK и ΔCKA)
3) AB=BC (по условию)
⇒ ΔAВK=ΔCВЕ (по двум сторонам и углу между ними), ч. т. д.
83.
∠FPD=∠EPD=90° (по определению)
Рассмотрим ΔPFD и ΔPLD
1) PF=PL (по условию)
2) ∠FPD=∠LPD (из доказательства выше)
3) PD - общая
⇒ ΔPFD=ΔPLD (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ равенство элементов ⇒ ∠LDP=∠FDP, ч. т. д.
84.
ЕК - высота (по определению) ⇒ ∠EКD=∠EKF=90°
Рассмотрим ΔEDK и ΔEFК
1) ∠EКD=∠EKF (из доказательства выше)
2) ЕК - общая
3) DK=FK (предположим из условия)
⇒ ΔEDК=ΔEFК (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ равенство элементов ⇒ DE=EF (предположения верны), ч. т. д.
85.
Рассмотрим ΔDAB и ΔBAE
1) ∠DAB=∠EAB (по условию)
2) ∠DBA=∠ABE (по условию)
3) AB - общая
⇒ ΔDAB=ΔBAE (по стороне и прилежащим к ней углам), ч. т. д.
При пересечении двух параллельных прямых третьей (не под прямым углом) образуются 8 углов, четыре из которых имеют одну величину и четыре - другую:
На рисунке видны такие углы 1 и 3; 2 и 4, а так же 5 и 7; 6 и 8. Очевидно, что все эти пары представляют собой равные углы, так как являются вертикальными. Таким образом, мы имеем четыре бо'льших угла: 1, 3, 5, 7 и четыре меньших: 2, 4, 6, 8. Разность между бо'льшим и меньшим углом, по условию, равна 44°. Сумма большего и меньшего равна 180°. Тогда:
{ ∠1 - ∠2 = 44°
{ ∠1 + ∠2 = 180° - Складываем оба уравнения:
2 *∠1 = 224° => ∠1 = 112°; ∠2 = 180 - 112 = 68°
Таким образом: ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 112°
∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 68°