Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA. а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA. б) Найдите объём пирамиды ABMN.
Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA.
а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA. б) Найдите объём пирамиды ABMN.
Объяснение:
1)BN-медиана ΔSАВ-равнобедренного⇒BN-высота и BN⊥АS.
CN-медиана ΔSАС-равнобедренного⇒СN-высота и СN⊥АS. Значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АS⊥ВСN( она перпендикулярна 2-м пересекающимся прямым).А если AS перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости , например ВС. Вывод AS⊥BC.
2)V(пирам)=1/3*S(осн)*h.
S(осн)=S(АВМ)=1/2*ВМ*АМ.
ВМ=8, АМ=√(17²-8²)=15.
S(осн)=0,5*8*15=60 (ед²)
Ищем высоту h из ΔАNM-прямоугольного, т.к MN⊥AS. Применяем т. о среднем пропорциональном для катета и высоты.
Т.к. катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета, то AN=√(AM*AO) или AО=AN²:АМ=64/15.
Тогда ОМ=15-64/15=161/15
Высота NO-есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу АМ. Тогда NO=√(АО*ОМ)=√(64/15*161/15)=8/15√161.
Задача решается двумя Графически и алгебраически. приложение №1): Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см. Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см. Радиус 5/2=2,5 см.
приложение №2): Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника. Радиус описанной окружности - R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол. Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей. Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β). R=СД/2sinβ=2/sinβ; R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ. Делим одно выражение на другое. 3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3 R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.
Обозначим сторону квадрата 2x. Треугольник АВЕ - равнобедренный. Высота из вершины Е на сторону АВ делит АВ пополам. Точка Е равноудалена от точек А и В и лежит на серединном перпендикуляре к АВ, АВ || СD Поэтому точка Е равноудалена от точек С и D. СЕ=√13.
Обозначим высоту треугольника АВЕ у, тогда высота равнобедренного треугольника СDE будет равна (2x-y) По теореме Пифагора х²+у²=25 х²+(2х-у)²=13
Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA.
а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA. б) Найдите объём пирамиды ABMN.
Объяснение:
1)BN-медиана ΔSАВ-равнобедренного⇒BN-высота и BN⊥АS.
CN-медиана ΔSАС-равнобедренного⇒СN-высота и СN⊥АS. Значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АS⊥ВСN( она перпендикулярна 2-м пересекающимся прямым).А если AS перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости , например ВС. Вывод AS⊥BC.
2)V(пирам)=1/3*S(осн)*h.
S(осн)=S(АВМ)=1/2*ВМ*АМ.
ВМ=8, АМ=√(17²-8²)=15.
S(осн)=0,5*8*15=60 (ед²)
Ищем высоту h из ΔАNM-прямоугольного, т.к MN⊥AS. Применяем т. о среднем пропорциональном для катета и высоты.
Т.к. катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета, то AN=√(AM*AO) или AО=AN²:АМ=64/15.
Тогда ОМ=15-64/15=161/15
Высота NO-есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу АМ. Тогда NO=√(АО*ОМ)=√(64/15*161/15)=8/15√161.
V(пирам)=1/3*60*8/15√161=32/3*√161.
PS. Не доказано, что NO " падает " на АМ.