Если соединить точки на серединах сторон треугольника, то получим средние линии каждой из сторон. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Поскольку каждая сторона меньшего треугольника равна половине параллельной стороны большего, их отношение равно 1:2 и коэффициент подобия k равне 1/2 или 2, если считать отношение большей стороны к параллельной ей стороне меньшего треугольника, равное 2:1.
АВ = CD так как трапеция равнобедренная, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции, AD - общая сторона для треугольников ABD и DCA, ⇒ ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними, значит ∠CAD = ∠BDA = 45°, ⇒ ΔAOD равнобедренный, а так как два угла в нем по 45°, то угол при вершине ∠AOD = 90°.
ΔВОС так же прямоугольный равнобедренный.
Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей. Обозначим основания а и b. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В равнобедренном ΔAOD h₁ - это высота и медиана, значит h₁ = a/2. В равнобедренном ΔВОС h₂ - это высота и медиана, значит h₂ = b/2. Высота трапеции равна: h = h₁ + h₂ = a/2 + b/2 = (a + b)/2, т.е. высота равна средней линии. Стоит запомнить: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. h = (4 + 16)/2 = 10
Треугольная призма;
А₁А₃ = 15, А₁А₂ = 13, А₂А₃ = 14, А₃А₃ = 10.
Найти:V - ? (ед. куб).
Решение:V = S осн · h
A₃A₃ = h = 10 см.
S основания - площадь △А₁А₂А₃.
Найдём площадь △А₁А₂А₃, по теореме Герона:
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), где р - полупериметр (сторон а, b и с), a, b, c - стороны этого треугольника.
p = (a + b + c)/2 = (15 + 14 + 13)/2 = 42/2 = 21
S = √(21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)) = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 (ед. кв).
V = 84 · 10 = 840 (ед. куб).
ответ: 840 (ед. куб).Задача №2.Дано:Цилиндр.
∠О₁СО = 60°;
О₁С = 8.
Найти:V - ? (ед. куб).
Решение:R - радиус.
V = πR²h
△О₁ОС - прямоугольный, так как О₁О - высота.
"Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°".
⇒∠СО₁О = 90° - 60° = 30°.
"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".
⇒ СО = R = 8/2 = 4
Найдём ОО₁ (высота цилиндра, катет прямоугольного △О₁ОС), по теореме Пифагора (с² = а² + b², где с - гипотенуза, а, b - катеты)
a = √(c² - b²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3
Итак, OO₁ = h = 4√3
V = п(4² · 4√3) = 64√3п (ед. куб)
ответ: 64√3п (ед. куб).