Пирамида SABCD пересечена плоскостью KLNM, параллельной основанию.
1. Каково взаимное расположение прямых (пересекаются, скрещиваются, параллельны):
а) AS и CD? ответ: скрещиваются, т.к. CD∈( ADC) , AS∩( ADC) =A , A∉CD
б) AB и KL? ответ: параллельны , т.к. (KLN)||(АВС).
в) CD и LM? ответ: скрещиваются, т.к.CD∈(CDM) , а LM пересекает эту плоскость в точке М , не лежащей на CD.
2. Как расположены плоскости:
а) ASB и DSC? ответ: пересекаются ,т.к. имеют общую точку
б) ABD и ASD? ответ: пересекаются ,т.к имеют общую прямую.
Дана прямоугольная трапеция с тупым углом 150° и площадью 150 см².
Примем радиус искомой вписанной окружности за r.
Находим верхнее основание b.
b = r + (r*tg (180° - 150°)/2) = r + r*tg 15° = r(1 + tg 15°).
Тангенс половинного угла
tan α /2 = ± √ ((1 − cos α) /(1 + сos α )) = sin α /(1 + cos α ) =
= (1 − cos α )/sin α
Находим tg 15° = (1 -(√3/2))/(1/2) = 2 - √3.
Тогда b = r(1 + 2 - √3) = r(3 - √3).
Так как высота трапеции равна 2r, то нижнее основание с равно:
с = b + (2r/tg 30°) = r(3 - √3) + (2r/(1/√3)) = r(3 - √3 + 2√3) = r(3 + √3).
На основе формулы площади трапеции составляем уравнение:
2r*((r(3 - √3) + r(3 + √3))/2) = 150.
Получаем r²*6 = 150, откуда r = √(150/6) = √25 = 5 ед.
ответ: r = 5 ед.