Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма: 1. Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны. 2. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. 3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, эта точка является центром симметрии параллелограмма. 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 5. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону. 6. Параллелограмм можно вписать в окружность в том случае, если он - прямоугольник. 7. В параллелограмм можно вписать окружность в том случае, если он – ромб.
решения. 1). - самый короткий. Из величин, данных в условии, напрашивается предположение, что треугольник АВС - египетский: АВ=4*3=12, АС=5*3=15, и ВС явно дожно быть 3*3=9 То же самое с треугольником АСD, в нем отношение сторон АС:DС:АD=3:4:5, ⇒ АD=25. И это так и есть, проверьте по т. Пифагора Отсюда следует вывод: Треугольник АCD - прямоугольный, угол АСD=90°. 2) Опустим из В высоту СН на АD. СН=АВ=12 По т.Пифагора находим ВС=9 АН=ВС=9 По той же теореме НD=16 ⇒ АD=9+16=25 ВС:АС=АВ:СD=АС:АD= 3/5 Стороны треугольников АВС и АСD - пропорциональны. Третий признак подобия треугольников Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. В подобных треугольниках углы, заключенные между сходственными сторонами, равны.⇒ ∠АСD=∠ АВС=90° 3) Нашли АН=9, НДD=16, АD=25 ( см.выше) Находим площадь треугольника АСД по формуле S=a*b:2: S(АСD)=12*25:2=150 В другую формулу площади треугольника S(АСD)=AC*CD*sin∠(ACD):2 поставим известные величины и выразим из нее синус искомого угла: ⇒sin∠(ACD)=2*S(АСD):AC*CD sin∠(ACD)=300:300=1 1=sin∠(90°) ответ: угол между меньшей диагональю и большей боковой стороной трапеции равен 90°
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны.
2. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, эта точка является центром симметрии параллелограмма.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
5. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.
6. Параллелограмм можно вписать в окружность в том случае, если он - прямоугольник.
7. В параллелограмм можно вписать окружность в том случае, если он – ромб.
S=aha
Ha =b sinα
S=ab sinα
S=0,5 d1d2sinφ