★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:Четырёхугольник ABCD — выпуклый.
Каждый угол четырёхугольника в 2 раза больше предыдущего.
Найти:Меньший угол четырёхугольника (∠А) = ?
Решение:▷ Сумма углов любого четырёхугольника равна 360° ◁
Для удобства расчёта возьмём ∠А за х.
Тогда, по условию задачи —
▸ ∠В = 2*∠А = 2х.
▸ ∠С = 2*∠В = 2*2х = 4х.
▸ ∠D = 2*∠C = 2*4x = 8x.
Логично, что ∠А — меньший угол, так как мы его брали за х.
Составим линейное уравнение и найдём значение х —
∠А+∠В+∠С+∠D = 360°
х+2х+4х+8х = 360°
15х = 360°
х = 24°.
∠А = х = 24°.
ответ:24°.
Доказательство в объяснении и приложении.
Объяснение:
Если прямые I1 и I2 - касательные к соответствующим окружностям, то ∠ВАС равен половине дуги АС (большой окружности) по свойству угла между хордой и касательной. ∠ADC равен половине дуги АС (большой окружности) как вписанный, опирающийся на эту дугу. =>
∠АDC = ∠ВАC.
∠ACD равен половине дуги АС (малой окружности) по свойству угла между хордой и касательной. ∠AВC равен половине дуги АС (малой окружности) как вписанный, опирающийся на эту дугу. =>
∠АСD = ∠ABC.
В треугольнике ACD ∠CАD = 180 - ∠АСD - ∠ADC.
В треугольнике AВC ∠АСВ= 180 - ∠АBC - ∠BAC. =>
∠CАD = ∠АСВ. Это внутренние накрест лежащие углы про прямыхI3 и I4 и секущей АС => прямые I3 и I4 - параллельные, что и требовалось доказать.
ответ: 3*SQR(7)/4
Объяснение: Пусть АВ=х . Выразим cos BAD= cos Z= АВ/AD=x/3
(cosZ)^2= x^2/9 (1)
Cos BAC= cos 2Z= x/AC=x/sqr(14)
cos 2Z= 2*(cosZ)^2-1
x/sqr(14)=2*(cosZ)^2-1 (2)
Подставив (1) в (2) получим:
x/sqr(14)=2*x^2/9-1
2*sqr(14)*x^2 -x*9-9*sqr(14)=0
Решим это квадратное уравнение , используя дискриминант
D=81+4*9*2*14= 81+72*14=1089=33^2
Находим корень уравнения х1=(9+33)/(4*sqr(14)) =21/(2*sqr(14))=
21*sqr(14)/(2*14)=3*sqr(14)/4
Очевидно, что второй корень х2=(9-33)/(4*sqr(14))- отрицательный и поскольку х- длина катета,- смысла не имеет.
Найдем BD по т. Пифагора
BD^2=AD^2-AB^2=9-9*14/16=9-63/8= (72-63)/8=9/8
BD=3/(2*sqr(2))
sinZ= BD/AD=3/(2*sqr(2)) : 3= 1/(2*sqr(2))
Теперь найдем площадь треугольника ADC по формуле S=ab*sinZ/2
= AD*AC*sinZ/2
S= 3*sqr(14)/(2*sqr(2)) /2= 3*sqr(7)/4