среди всех треугольников, тупой угол которых равен 150°, а сумма сторон его образующих 1,6, найдите тот, площадь которого максимальна. чему равна площадь этого треугольника?
Рассмотрим треуг-ки ANC и AMC: У них общее основание - АС, и равные углы при основании, т.к. углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Имеем: угол NAC = углу MCA по условию задачи, но углы BAC=BCA, то есть равны и другие части этих углов - угол МАN=NCM. Таким образом треуг.AMC=треуг.ANC по стороне и двум углам. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. След-но, AM=NC. Так как треуг.ABC - равнобедренный, то MB=NC, (AB-AM =MB) = (BC-NC=BN), где AB=BC AM=NC. То есть треуг.MBN - равнобедренный.
А) В окружности дуги АД и СД равны, т.к. на них опираются равные углы АВД и СВД (ВД по условию биссектриса угла АВС), значит хорды АД и СД равны. В треугольнике АСД АД=СД, значит он равнобедренный. АМ=СМ, значит ДМ - высота. ДМ⊥АС. Доказано. б) Углы АМВ и АМР смежные. ∠АМР=180-130=50°. ∠РМД=∠АМД-∠АМР=90-50=40°. Диаметр окружности перпендикулярный хорде, пересекая, делит её пополам. ДМ⊥АС, АМ=СМ, значит ДМ∈ДО, где точка О - центр описанной окружности. Дуги РД и ДQ равны, т.к. ∠PВД=∠QBД (по условию ВД - биссектриса угла РВQ), значит ∠ОДР=∠ОДQ. ΔРМД=ΔQМД т.к. РД=QД, ∠ОДР=∠ОДQ и сторона МД общая, значит ∠РМД=∠QМД=40°. ∠QМС=∠CMД-∠QМД=90-40=50° - это ответ.
У них общее основание - АС, и равные углы при основании, т.к. углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Имеем: угол NAC = углу MCA по условию задачи, но углы BAC=BCA, то есть равны и другие части этих углов - угол МАN=NCM. Таким образом треуг.AMC=треуг.ANC по стороне и двум углам.
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. След-но, AM=NC. Так как треуг.ABC - равнобедренный, то MB=NC, (AB-AM =MB) = (BC-NC=BN), где AB=BC AM=NC.
То есть треуг.MBN - равнобедренный.