Question

ABCD Трапеция MN делит трапецию на две равные части по площади(MN не средняя линия) ">

Answer 1

Пусть искомая длина равна $l$. Тогда $\frac{b+l}{2}h_{1}=\frac{a+l}{2}h_{2} \Leftrightarrow (b+l)h_{1}=(a+l)h_{2}$. Пусть высота трапеции равна $H$. Тогда $(b+l)h_{1}=(a+l)(H-h_{1}) \Leftrightarrow b+l=(a+l)(\frac{H}{h}-1)$ (*).  Пусть $\frac{H}{h}=x$. В то же время $2\times \frac{b+l}{2}h_{1}=\frac{a+b}{2}H \Leftrightarrow b+l=\frac{a+b}{2}x$. Уравнение (*) можно переписать: $b+l+a+l=(a+l)x$. Поделив два уравнения друг на друга, избавимся от икса: $\frac{b+a+2l}{b+l}=\frac{2a+2l}{a+b}$, откуда $(a+b)^2+2l(a+b)=2ab+2l(a+b)+2l^2 \Leftrightarrow l=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2} }$.