Question

в прямоугольном треугольнике высота и медиана проведенные из прямого угла относятся как 24:25 найдите отношение радиусов описанной и вписанной окружносткй

Answer 1

Обозначим $AB=c,~ AC=b,~ BC=a,~ CH=h$. Пусть $h=24x,~ CM=25x.$ Поскольку $CM$ — медиана, то $AM=MB$ и так как $M$ — центр описанной окружности, то $AM=MB=CM=25x$ (как радиусы окружности). Тогда $r=\dfrac{2S}{P}$, площадь треугольника $S=\dfrac{ch}{2}=\dfrac{50x\cdot 24x}{2}=600x$ кв.ед. Определим теперь периметр:

$P=a+b+c=\sqrt{(a+b)^2}+c=\sqrt{a^2+b^2+2ab}+c=\sqrt{c^2+4S}+c$

$P=\sqrt{(50x)^2+4\cdot 600x}+50x=70x+50x=120x$

Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{2S}{P}=\dfrac{2\cdot 600x}{120x}=10x$.

Определим теперь отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

$\dfrac{R}{r}=\dfrac{25x}{10x}=2{,}5$

ответ: R : r = 5 : 2.