Question

В прямоугольном треугольнике с площадью S=2 см^2 из вершины прямого угла проведены высота и медиана, угол между которыми равен sin=15/17 Найдите длину гипотенузы данного прямоугольного треугольника ​

Answer 1

√17 см

Объяснение:

Дан трeугольник Δ ABC, где ∡В прямой. ВН-высота, ВМ медиана.

sin (∡HBM)= 15/17 => cos( ∡HBM)= sqrt(1-sin(∡HBM)^2)=sqrt(1-225/289)

cos(∡HBM) =8/17                                           (1)

∡HBM=α => ∡HMB=90-α =>∡BMC=90+α

BM-медиана в прямоугольном треугольнике=> ΔBMC- равнобедренный, ВМ=МС=> ∡MCB=∡MBC= (180-∡HMB)/2=45-α/2

=>∡HBC=α+45-α/2=45+α/2

=> ∡ABH= 90-∡HBC=45-α/2

=>AB=BH/cos(∡ABH)     ;    BC=BH/cos(∡HBC)

=>S(ABC)= AB*BC/2= BH*BH/(2*cos(45-α/2)*cos(45+α/2))

S(ABC)=BH²/(2*(cos45*cos(α/2)+sin45*sin(α/2))((cos45*cos(α/2)-sin45*sin(α/2)))=

=BH²/(2*(((cos45*cos(α/2))²-(sin45*sin(α/2))²)= BH²/(2*0.5*(cos(α/2)²-sin(α/2)²)))

S(ABC)=2=BH²/cosα  

Воспользуемся (1) => получим

BH²/(8/17)=2

BH²=16/17

BH=4/√17

=>BM= BH/cosα=(4/√17):(8/17)=√17/2

Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза в 2 раза больше медианы, проведенной из вершины прямого угла, то

АС=ВМ*2= √17/2*2=√17 см