Пусть ABC - равнобедренный
∟B = 120 °, АС = 18 см, АК - высота.
В ΔАВС проведем высоту BD к основанию АС.
По свойству равнобедренного треугольника BD - биссектриса и медиана
AD = DC = 1 / 2AC = 18: 2 = 9 (см) (BD - медиана).
∟AВD = ∟DBC = 1 / 2∟В = 120 °: 2 = 60 ° (BD - биссектриса).
Рассмотрим ΔABD - прямоугольный (∟D = 90 °, BD - высота):
∟BAD + ∟ABD = 90 °; ∟BAD = 30 °; ∟BAD = ∟BCD = 30 ° (ΔABC - равнобедренный).
Рассмотрим ΔАКС (∟К = 90 °, АК - высота):
АК - катет, лежащий напротив угла 30 °, тогда АК = 1 / 2АС; АК = 18: 2 = 9 (см).
ответ: Высота AK= 9 см
Формула радиуса вписанной окружности в ромб: r = Dd/4а, где D, d – диагонали ромба, а – его сторона.
По условию меньшая диагональ – 16√3 см, тогда половина данной диагонали – 8√3.
Так как острый угол равен 60°, то диагональ делит его на два угла по 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза, она же сторона ромба, равна 16√3.
Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю – равносторонний. Найдем высоту, она же половина большей диагонали, по формуле:
h = а√3/2 = 16√3·√3 / 2 = 8·3 = 24 см
Тогда большая диагональ D = 24·2 = 48 см
r = Dd/4а = 48·16√3 / 4·16√3 = 12 см
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:
S = 1/2 d₁d₂ = 1/2 Dd = 1/2·48·16√3 = 384√3 см²
ответ: r = 12 см; S = 384√3 см²