Question

Биссектрисы BB11 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Биссектрисы B1B2 и C1C2 треугольника AB1C1 пересекаются в точке N. Докажите, что точки A, M, N лежат на одной прямой.​

Answer 1

Для начала, рассмотрим треугольник ABC и его биссектрисы BB11 и CC1, которые пересекаются в точке M.

Пусть точка P - точка пересечения биссектрис AB11 и AC1 треугольника ABC.

Так как BB11 и CC1 являются биссектрисами, они делят соответственно углы B и C пополам.

Из определения биссектрисы следует, что углы AB11P и AC1P равны.

Также, углы ABP и ACP равны между собой, так как они соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и AC прямой AP двумя пересекающимися прямыми AB11 и AC1.

Поэтому, углы PAB и PAC также равны между собой.

Так как углы BAP и PAC равны, углы ABC и APC также равны между собой по свойству суммы углов треугольника.

То есть, углы ABC и BAC равны между собой.

Таким образом, точка P также является точкой пересечения биссектрисы AB1 и AC1 треугольника AB1C1.

Пусть точка Q - точка пересечения биссектрис AB11 и AC1 треугольника ABC.

Аналогично, можно доказать, что углы AQC и AQ1C1 равны между собой.

Так как углы CQA и AQ1C1 равны, углы CAB и AQ1B1 также равны между собой по свойству суммы углов треугольника.

То есть, точка Q также является точкой пересечения биссектрисы BB11 и BC1 треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник AB1C1 и его биссектрисы B1B2 и C1C2, которые пересекаются в точке N.

Из предыдущих рассуждений, точка N также является точкой пересечения биссектрисы AB1 и AC1 треугольника AB1C1.

Таким образом, изначальное утверждение доказано: точки A, M и N лежат на одной прямой.