Объяснение:
1. Теорема: сумма угловΔ-ка = 180°. Из этого следует:
∠А = 180° - 30° -105° = 45° → ∠А = 45°
2. Из ∠С построим высоту СО:
СО⊥ АВ.
Рассмотрим ΔАОС.
∠АОС = 90° по построению,
∠А = 45°, значит, ∠АСО =90°- 45° = 45°.
Следовательно, ΔАОС - равнобедренный и
АО=СО.
По т. Пифагора:
АС² = АО² + СО² → АС² = 2СО² или
4² = 2*СО²
СО² = 16/2 = 8 → СО = √8 = 2√2.
СО = АО = 2√2
3. Рассмотрим ΔСОВ.
∠СОВ = 90° по построению
∠В = 30°
СО = 2√2 - катет, лежащий против угла в 30°.
Теорема: В прямоугольном Δ - ке против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:
СВ = 2СО= 2 * 2√2 = 4√2
ОВ² =СВ² - СО² = (4√2)² - (2√2)² = 32 - 8 = 24
ОВ = √24 = 2√6
АВ = АО + ОВ = 2√2 +2√6
∠А = 45°
СВ = 4√2 ≈ 4* 1,41 = 5,64(см0
АВ = 2√2 +2√6 = 2* 1,41 +2*2,45 = 2,82 + 4,9 = 7,72 (см)
1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?
1) AB/sin∠C =BC/sinA = AC/sin∠B = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла ,
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).
длину AC не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .
sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.
* * * * * * * Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒ Прямоугольный треугольник BHC равнобедренный CH =BH ,т.к. ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.