Если я найду площадь S треугольника со стороной a и углами α и β при этой стороне, то площадь подобного ему треугольника, на месте стороны a у которого - сторона b, будет равна S*(b/a)^2; а площадь трапеции, которая получается после "вычитания" второго треугольника из первого, будет равна S*(1 - (b/a)^2); поэтому для начала я буду вычислять площадь S; Из теоремы синусов легко найти стороны. Пусть напротив угла β лежит сторона c; тогда c/sin(β) = a/sin(π- α - β); или c = a*sin(β)/sin(α + β); Между a и c - угол α, поэтому S = a^2*sin(α)*sin(β)/(2*sin(α + β)); по сути это уже ответ, площадь трапеции равна (a^2/2 - b^2/2)*sin(α)*sin(β)/sin(α + β); Ну, если подставить числа, там получается прямоугольный треугольник (если продолжить боковые стороны). Значит, ответ (36 - 4)*(1/2)*(√3/2)/2 = 4√3 можно получить и другим то есть проверить его верность.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.
Точка М - центр описанной окружности.
Точка О - центр вписанной окружности.
Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.
Радиус вписанной окружности равен по формуле:
r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.
Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.
PB=HB=2см (касательные из одной точки).
Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:
ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .
ответ: расстояние между центрами окружностей равно
√1,25 ≈ 1,12 см.
Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:
d² = R² - 2·R·r.
В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.
тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.