Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы
Пусть в прямоугольном треугольникеАСВ угол В равен 30° Тогда другой его острый угол будет равен 60°.
Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.
Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ .
Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник - равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.
Для решения этой задачи нужно использовать тригонометрические соотношения для нахождения значения косинуса угла, зная значение синуса угла.
Дано:
sin a = 1/4
Мы знаем, что синус угла a равен отношению противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Поэтому, чтобы найти косинус угла, мы должны найти другие стороны этого треугольника.
Пусть противолежащая сторона равна 1, а гипотенуза равна 4 (поскольку sin a = 1/4).
Теперь, чтобы найти прилежащую сторону, мы можем использовать теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.
В нашем случае это будет: 1^2 + b^2 = 4^2 → 1 + b^2 = 16 → b^2 = 15.
Из этого следует, что b = √15.
Теперь у нас есть все необходимые значения сторон треугольника: противолежащая сторона равна 1, прилежащая сторона равна √15, а гипотенуза равна 4.
Мы можем использовать формулу для нахождения косинуса: cos a = adjacent/hypotenuse.
Таким образом, cos a = √15/4.
Вот ответ на задачу.
Пусть в прямоугольном треугольникеАСВ угол В равен 30° Тогда другой его острый угол будет равен 60°.
Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.
Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ .
Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник - равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.