конечно, это скрещивающиеся прямые, но угол между ними очень даже есть :).
самое простое решение - векторное.
Пусть куб имеет сторону равную 1.
Пусть вектора АD = i ; AB = j ; AA1 = k ;
Модули единичных векторов i j k равны 1, и скалярные произведения ij = ik = jk = 0; поскольку эти вектора перпендикулярны друг другу.
Обозначим вектор АВ1 = x ; AC = y;
Вектор x = j + k
Вектор АС = i + j ; откуда вектор y = k - (i + j);
Скалярное произведение yx = k^2 - j^2 = 0;
то есть эти прямые перпендикулярны, угол между ними 90 градусов
Есть и очень простое геометрическое решение.
Если соединить середины ребер AD (точка М) и В1С1 (точка К) то МК II AB1. Кроме того, МК проходит через центр куба, так же как СА1, поэтому искомый угол - это угол между МК и СА1, лежащими в одной плоскости. При этом сечение куба этой плоскостью МА1КС - это ромб (все стороны равны), а МК и СА1 - его диагонали, поэтому они взаимно перпендикулярны.
tg(a) = h/2/r
r = h/(2tg(a))
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r
Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору
x² = (x/2)² + (3r)²
3/4*x² = 9r²
x² = 12r²
x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a)
Площадь основания
S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))²
И объём
V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))²
на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.