1. Верно ли утверждение: "Четырехугольник является правильным, если все его углы равны между собой"?
б) нет, так как должны быть равны и стороны, иначе это может быть прямоугольник.
2. Все стороны многоугольника являются хордами окружности. Можно ли утверждать, что многоугольник описан около окружности?
б) нет, этот многоугольник вписан в окружность.
3. Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника?
б) 120° (360° : 3) .
4. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого сумма всех его углов равна 540°?
Сумма углов многоугольника равна 180°(n - 2), где n - количество сторон.
180°(n - 2) = 540°
n - 2 = 3
n = 5
а) 5.
5. Чему равна длина окружности, если ее диаметр равен 50 см?
С = πd = 50π см
а) 50π см.
6. Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 90°. Чему равна площадь оставшейся части круга?
Дуга оставшейся части круга:
α = 360° - 90° = 270°
Sсект = πR² · α / 360°
Sсект = π · 400 · 270° / 360° = 300π см²
а) 300π см²
Достроим трапецию до равнобедренного треугольника.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса к основанию является высотой и медианой.
Окружность касается оснований в серединах.
BL=CL, AN=DN
Отрезки касательных из одной точки равны.
BK=BL=CL=CM =a
AK=AN=DN=DM =b
По теореме о пропорциональных отрезках KM||BC||AD
△KAP~△BAC, KP/BC=AK/AB => KP/2a =b/(a+b)
△PCM~△ACD, PM/AD=CM/CD => PM/2b =a/(a+b)
KP=PM =2ab/(a+b)
LN - высота => LN⊥KM
S(KLMN) =1/2 KM*LN *sin90 =2ab/(a+b) *LN
S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*LN =(a+b) *LN
S(ABCD)/S(KLMN) =(a+b)^2/2ab =8/3 =>
(a^2 +b^2 +2ab)/2ab =8/3 =>
a/2b +b/2a +1 =8/3 =>
a/b +b/a =2(8/3 -1) =10/3
a/b =x
x +1/x =10/3 =>
x^2 -10/3 x +1 =0 => x = {1/3; 3}
ответ: основания относятся 1:3