Question

точка дотику кола вписаного у прямокутний трикутник ділить один із його катетів на відрізки 1 і 2 см рахуючи від вершини прямого кута. хнайдіть площу цього трикутника і радіуси вписаного та описаного кіл

Answer 1

Дано : ΔABC,  ∠C = 90°,  CN = 1 см, NB = 2 см,

          вписанная окружность  (O; r)

Найти : S, r, R

Так как окружность вписана в треугольник, то стороны треугольника являются касательными к окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной в этой точке.

ON⊥CB,  OK⊥AC, OM⊥AB

⇒  CKON - квадрат со стороной, равной радиусу вписанной окружности

⇒  r = CK = KO = JN = CN = 1 см

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны

BM = BN = 2 см;      AK = AM = x см

ΔABC :

BC = CN + BN = 1 см + 2 см = 3 см

AC = AK + KC = (x + 1) см

AB = AM + MB = (x + 2) см

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить через полупроизведение катетов или через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S_{\triangle ABC}=\dfrac {AC\cdot BC}2=pr\\\\\dfrac {AC\cdot BC}2=\dfrac{AC+AB+BC}2\cdot r~~~~~~~|\cdot 2\\\\AC\cdot BC=(AC+AB+BC)\cdot r\\\\(x+1)\cdot 3=\Big((x+1)+(x+2)+3\Big)\cdot 1\\\\3x+3=2x+6;\ \ \ \ \ \boldsymbol{x=3}$

AC = x + 1 = 4 см;    AB = x + 2 = 5 см

$S_{\triangle ABC}=\dfrac {AC\cdot BC}2=\dfrac{4\cdot 3}2= 6$  см²

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы

$R = \dfrac{AB}2=\dfrac 52=2,5$  см

ответ :  S = 6 см²,  r = 1 см,  R = 2,5 см