Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а радиус окружности, описанной около основания, равен 2корня из3 см. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды. напишите решение подробно​

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать основные факты о правильной треугольной пирамиде.

1. В правильной треугольной пирамиде все боковые грани являются равносторонними треугольниками.
2. Боковое ребро пирамиды составляет угол 60° с плоскостью основания.
3. Радиус окружности, описанной около основания, равен 2√3 см.

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Для этого рассмотрим одну из граней пирамиды. Поскольку все боковые грани равносторонние треугольники, мы можем посчитать площадь одной из них и затем умножить на число боковых граней (в данном случае их 4, так как пирамида правильная).

Рассмотрим треугольник, образованный основанием пирамиды и двумя боковыми ребрами. Поскольку угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60°, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых будет иметь угол 30°.

Пусть сторона основания треугольника равна a см. Так как треугольник прямоугольный и имеет угол 30°, мы можем использовать соответствующий стороне a отношению для определения длины бокового ребра.

Отношение a можно найти, зная, что оно равно отношению длины высоты треугольника к длине одного из катетов. Для прямоугольного треугольника с углом 30° отношение длины высоты к длине катета равно √3 / 2.

Теперь мы можем определить длину бокового ребра. Расстояние от вершины пирамиды до центра основания равно радиусу окружности, описанной около основания, то есть 2√3 см. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого один катет равен √3 см (половина расстояния между двумя основаниями) и гипотенуза равна длине бокового ребра (обозначим ее как b), мы можем найти значение b:

√3^2 + (√3/2)^2 = b^2
3 + 3/4 = b^2
12/4 + 3/4 = b^2
15/4 = b^2
b = √15/2 см

Теперь, зная длину бокового ребра, мы можем найти площадь одной боковой грани пирамиды, используя формулу для площади равностороннего треугольника:

Площадь треугольника = (сторона^2 * √3) / 4
Площадь треугольника = (((√15/2)^2) * √3) / 4
Площадь треугольника = (15/4 * √3) / 4
Площадь треугольника = (15√3) / 16

Теперь умножим площадь одной боковой грани на количество боковых граней (4) для получения общей площади боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды = (15√3) / 16 * 4
Площадь боковой поверхности пирамиды = (60√3) / 16
Площадь боковой поверхности пирамиды = 15√3 / 4

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна 15√3 / 4 квадратных сантиметров.