Из вершины В продлим сторону параллельную CL до пересечения продления стороны АС так что EC = BC; ∠ EBD = ∠BCL = α как накрест лежащие при EB || CL и секущей BC.
∠BEC = ∠EBC ⇒ ΔEBC — равнобедренный. Из этого треугольника
EB = 2BC * cosα (высота, проведенная к ЕВ, делит на два равных прямоугольных треугольника, отсюда и легко найти).
ΔCLA ~ ΔEBA следовательно из подобия 
BC = CE, тогда
Среднее гармоническое двух чисел a;b : 
, а среднее геометрическое - ![x_{GEOM}=\sqrt[]{ab}](/tpl/images/0375/1324/773ff.png)
. 
. В данном случае достигает максимума, когда выполняется равенство а=b.
Т.к. α — постоянная величина ; среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического и достигает максимума , тогда и только тогда, когда AC=BC , а значит треугольник равнобедренный, отсюда CL - высота и медиана
По т. Пифагора из треугольника OLA:
OC = OA = R, окончательно имеем:
Теперь рассмотрим правильный треугольник, лежащий в основании пирамиды. Проекция апофемы Апр перпендикулярна стороне основания, на которую опущена апофема, и является частью высоты(она же биссектриса, она же и медиана) правильного треугольника. Главное, что частью медианы. Вершина пирамиды проецируется в точку О основания, которая является точкой пересечения медиан. А медианы точкой пересечения делятся в отношении 1:2. Поэтому вся медиана состоит из трёх отрезков, равных каждый Апр= 6см, т.е. вся медиана(высота, биссектриса) равна h =18см.
Итак, в равностороннем треугольнике высота равна 18 см, тогда сторона треугольного основания а = h : cos 30 = 18 : 0.5√3 = 12√3cм