Проведём диагонали ромба АС и ВД. Обозначим точку их пересечения О. Треугольник СОД прямоугольный поскольку диагонали ромба перпендикулярны. Также прямоугольным является треугольник ВРД, поскольку ВР -высота. Они подобны так как имеют один равный острый угол СДВ. Следовательно углы РВД и ОСД равны. Но угол ОСД равен углу ОАД (диагонали ромба делят углы пополам). Следовательно угол РВД равен углу ОАД. Аналогично, из подобия треугольников ВДК и ОАД доказываем равенство углов ДВК и ОАВ. Поскольку сумма углов РВД и ДВК равна сумме углов ОАВ и ОАД следовательно углы КВР и ВАД равны.
ABCD основание,S вершина, O центр основания(точка пересечения диагоналей), A вершина пирамиды, то угол SAO=45 гр., тогда SO(высота)=4*sin 45=2*sqrt(2), AO=SO=2*sqrt(2)(тр.SAO равнобедр.,два равных угла), сторона основания по т. Пифагора AB^2=AO^2+BO^2=8+8=16, AB=4(диагонали квадрата перпенд., равны и в точке пересечения делятся пополам)
Найдем апофему боковой грани.SK апофема, SK перпенд.CD,K середина CD,OK перпенд.CD, OK=2( половине стороны)
SK^2=4+8=12
SK=2*sqrt(3)
S=3*SK*DC/2=3*2sqrt(3)*4/2=12*sqrt(3)