Question

Диагонали параллелограмма равны 4 и корню из 32 они пересекаются под углом 45 найти большую высоту

Answer 1

Половина меньшей диагонали равна 2, половина большей диагонали

(√32)/2 = √8 = 2√2

Рассмотрим треугольник, сторонами которого являются половинки диагоналей и меньшая сторона а, против которой лежит угол в 45⁰. Найдём меньшую сторону а параллелограмма по теореме косинусов:

а² = 2² + (2√2)² - 2·2·2√2·cos45⁰ = 4 + 8 - 8√2·(√2)/2 = 12 - 8 = 4

а = 2

Получилось, что меньшая сторона равна половине меньшей диагонали, тогда рассмотренный треугольник - равнобедренный и угол между меньшей стороной и половинкой большей диагонали равен 45⁰, тогда угол между меньшей стороной и  меньшей диагональю равен 90⁰.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю, меньшей стороной и большей стороной.

Его площадь равна половине произведения катетов, которыми являются меньшая сторона а = 2 и меньшая диагональ, равная 4.

Sтр = 0,5·2·4 = 4

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника

Sпар = 2 Sтр = 2·4 = 8

Большая высота параллелограмма опущена на меньшую сторону.

Площадь параллелограмма также равна произведению стороны и высоты, опущенной на эту сторону

Sпар = а·h = 2·h = 8

h = 4