a - сторона квадрата, вписанного в малый сегмент, b - в большой.
(a/2)^2 + (a + h)^2 = R^2; (b/2)^2 + (b - h)^2 = R^2;
5*a^2/4 + 2*a*h + h^2 = R^2; 5*b^2/4 - 2*b*h + h^2 = R^2;
a^2 + (8/5)h*a - (R^2 - h^2) = 0; b^2 - (8/5)h*b - (R^2 - h^2) = 0
a = -(4/5)*h + корень(((4/5)*h)^2 + (R^2 - h^2)); (отрицательный отброшен)
b = (4/5)*h + корень(((4/5)*h)^2 + (R^2 - h^2)); (отрицательный отброшен)
b - a = (8/5)*h;
Возможно, это можно как то увидеть с чисто геометрического построения, но я не нашел ...
Правильный тетраэдр - треугольная пирамида, все грани которой правильные треугольники.
Обозначим пирамиду МАВС, центры eё граней E,P,T.
Основание О высоты МО пирамиды - центр описанной (и вписанной) окружности равностороннего ∆ АВС.
а) Выразить m через h.
АО - радиус описанной окружности.
Формула R=m/√3
MO²=АМ²-АО²
h²=m²-m²/3
2m²=3h
m=h√(3/2)=(h√6)/2
б) Выразить n через m.
Центр правильного треугольника - точка пересечения его медиан. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. В таком же отношении делятся ребра пирамиды.
МТ:ТН=2:1, Mc:MC=2:3; ⇒ cb:CB=2:3
Центры граней лежат в плоскости, параллельной основанию АВС и образующей в сечении треугольник abc~АВС с коэффициентом подобия k=2/3. ab=bc=ac-=2/3m
Расстояния между центрами граней - стороны треугольника, образованного при соединении центров граней, ∆ abc~ ∆ РТЕ с k=1/2.
n=ab/2=1/2•(2/3)m
n=m/3.