Question

Даны уравнения х+у-5=0, 3х+у-7=0 двух медиан треугольника и уравнение одной из его сторон 2х+у-5=0.составить уравнение двух других сторон треугольника и найти координаты его вершин

Answer 1

Даны уравнения х+у-5=0, 3х+у-7=0 двух медиан треугольника и уравнение одной из его сторон 2х+у-5=0.составить уравнение двух других сторон треугольника и найти координаты его вершин .

Находим координаты двух вершин треугольника как точки пересечения медиан и одной стороны.

х+у-5=0,

2х+у-5=0 вычтем из второго уравнения первое.

х = 0. у = 5 - х = 5 - 0 = 5. Точка А(0; 5).

Аналогично:

3х+у-7=0,

2х+у-5=0 вычтем из первого уравнения второе.

х - 2 = 0, х = 2, у = 5 - 2х = 5 - 2*2 = 1. Точка В(2; 1).

Находим координаты точки пересечения медиан.

х+у-5=0,

3х+у-7=0, вычтем из второго уравнения первое.

2х - 2 = 0, х = 2/2 = 1, у = 5 - х = 5 - 1 = 4. Точка Д(1; 4).

Используем свойство точки пересечения медиан - она делим медианы в отношении 2 : 1 считая от вершины.

Находим координаты оснований медиан из условия (Δх и Δу) отрезка АМ = (3/2)*(Δх; Δу)АД.

Δх(АД) = 1 - 0 = 1, Δу(АД) = 4 - 5 = -1.

Δх(АМ) = (3/2)*1 = 3/2.   х(М) = х(А) + Δх(АМ) = 0 + (3/2) = 3/2 = 1,5.

Δу(АМ) = (3/2)*(-1) = (-3/2).   у(М) = у(А) + Δу(АМ) = 5 + (-3/2) = 7/2 = 3,5.

Аналогично для точки К.

ВК = (3/2)*(Δх; Δу)ВД.

Δх(ВД) = 1 - 2 = -1, Δу(ВД) = 4 - 1 = 3.

Δх(ВК) = (3/2)*(-1) = (-3/2).   х(К) = х(В) + Δх(ВК) = 2 + (-3/2) = 1/2 = 0,5.

Δу(ВК) = (3/2)*3 = (9/2).   у(К) = у(В) + Δу(ВК) = 1 + (9/2) = 11/2 = 5,5.

Координаты точки С находим как симметричной точке А относительно точки К.

х(С) = 2х(К) - х(А) = 2*0,5 - 0 = 1.

у(С) = 2у(К) - у(А) = 2*5,5 - 5 = 6.  Точка С(1; 6).

Определяем уравнение стороны АС.  Точка А(0; 5).

Δх(АС) = 1 - 0 = 1, Δу(АС) = 6 - 5 = 1.

АС: (х - 0)/1 = (у - 5)/1    это каноническое уравнение.

      -х + у - 5 = 0          уравнение общего вида.

       у = х + 5         уравнение с угловым коэффициентом.      

Определяем уравнение стороны ВС.  Точка В(2; 1). Точка С(1; 6).

Δх(ВС) = 1 - 2 = -1, Δу(ВС) = 6 - 1 = 5.

ВС: (х - 2)/(-1) = (у - 1)/5    это каноническое уравнение.

      5х + у - 11 = 0          уравнение общего вида.

       у =-5х + 11         уравнение с угловым коэффициентом.