Question

1.На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых —
отмеченные точки?

2.Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олим-
пийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие
делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их побе-
дители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось,
что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале

3. В куче n камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество
камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в
куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При
каких n начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать,
как бы ни играл его соперник

4.Дан равносторонний треугольник со стороной d и точка P, расстоя-
ния от которой до вершин треугольника равны положительным чис-
лам a, b и с. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник
со стороной a и точка Q, расстояния от которой до вершин этого
треугольника равны b, с и d.

5.Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами 1, 2, . . . , 8.
Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что масса каждого
слона, начиная с третьего, равнялась сумме масс двух предыдущих.
Вдруг до директора дошёл слух, что один слон похудел. Как ему за
два взвешивания на чашечных весах без гирь найти этого слона или
убедиться, что это всего лишь слух? (Ему известно, что ни один слон
не потолстел, а похудеть мог максимум один.)