В треугольнике ABC, AC = CB = 8, угол ACB = 120 градусов. Точка M удалена от плоскости треугольника на расстоянии 12 см и находится на равном расстоянии от вершин треугольника ABC.
Найти угол между MA и плоскостью треугольника ABC
Точка M находится на равном расстоянии от вершин треугольника ABC, следовательно, наклонные МА, МС и МВ равны, их проекции также равны, а М проецируется в центр В Описанное вокруг Δ АВС окружности.
ОА = ОВ = ОС = R
Углы при А и В равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.
∠А = ∠В = (180º-120º): 2 = 30º
по т.синусов
R = (AC: sin 30º): 2 = (8: 0,5): 2 = 8 см
Δ МOA - прямоугольный, МО = 12, ОВ = 8, и tg ∠MAO = 12/8 = 1,5
∠MAO = ≈56º20 "
Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 18 см. Точка удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости трапеции.
———————
ответ: 8 см.
Объяснение:
Назовем данную точку Е.
Точка удалена от каждой стороны трапеции на равное расстояние, т.е. на длину перпендикуляров, проведенных от этой точки к сторонам трапеции (см. рисунок во вложении.)
ЕК=ЕF=EM=EP.
Искомое расстояние - перпендикуляр ЕО к плоскости трапеции. Прямоугольные треугольники ЕOF=EOM=EОP=EOK, проекции их гипотенуз - по т. о 3-х перпендикулярах - перпендикулярны сторонам трапеции и равны радиусу вписанной в трапецию окружности.
Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который вписана окружность, равны. ⇒ АВ+СD=BC+AD=8+18=26. Боковые стороны равны между собой (дано), ⇒ их длина 26:2=13 см.
Из вершины В трапеции опустим перпендикуляр ВН на АD. Он является высотой трапеции и равен диаметру вписанной окружности.
АН - полуразность оснований. АН=(АD-ВС):2=5.
Из ∆ АВН по т.Пифагора ВН=√(AB²-AH²)=√(13²-5²)=12 см ⇒ d= МК=12, ОК=r=12:2=6 см.
Из ∆ ЕОК по т.Пифагора ЕО=√(EK²-КО²)=√(10²-6²)=8 (см).