Question

1.Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Луч DM пересекает прямую AB в точке N. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AN=10см 2. Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая пряму AB в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная диагонали AC и пересекающая прямую BC в точке N. Найдите периметр четырехугольника ACMN, если диагональ BD равна 8 см.
Очень нужно с чертежами и желательно пояснениями к каждому шагу доказательства

Answer 1

Прежде чем перейти непосредственно к решению каждой задачи, рассмотрим некоторые свойства и определения, которые помогут нам в дальнейших вычислениях.

1. Биссектриса угла в треугольнике - это луч, который делит данный угол пополам.

2. В параллелограмме биссектрисы противолежащих углов параллельны и пересекаются на диагонали.

3. В треугольнике с биссектрисами боковые стороны делятся на соответствующие отрезки пропорционально.

4. При параллельном пересечении прямых, соответственные углы равны.

Теперь перейдем к решению каждой задачи подробно.

1.

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D параллельны и пересекаются на стороне BC в точке M. Луч DM пересекает прямую AB в точке N.

Задача: Найдите периметр параллелограмма ABCD, если известно, что AN = 10 см.

Перед нами стоит задача найти периметр параллелограмма ABCD. Периметр - это сумма всех его сторон. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому нам нужно найти только одну из его сторон, а остальные стороны будут равными.

Посмотрим на набор прямоугольных треугольников:

Треугольник ABD и треугольник CMD будут подобными по теореме о произведении биссектрис в треугольнике. Их боковые стороны будут пропорциональны соотношением:

AB / CM = AD / MD.

Так как AB и AD - это стороны параллелограмма, то они равны. Поэтому это соотношение можно записать как:

AB / CM = AB / DM.

Учитывая, что AB - это сторона параллелограмма, а AN - это отрезок на этой стороне, мы можем записать:

AB / CM = AN / DM.

Теперь, заметим, что отрезок AN равен 10 см. Также, известно, что AN - это перпендикуляр к CM, так как NM - это луч DM, который пересекает прямую AB. Угол CMN равен углу BAN, так как BN - это угол наклона к AB. Но угол BAN - это корреспондирующий угол с углом DCM. Из этого следует, что треугольник CMN подобен треугольнику DAO.

Теперь, учитывая эту подобность, мы можем записать следующее соотношение:

CM / DM = AO / CN.