Question

В ромбе СКДМ вершины имеют координаты С(m ; 2), К(1 ; 4), Д(2 ; n), М(1 ; 0). Найдите m и n.

Answer 1

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами ромба.

Свойства ромба:
1. Стороны ромба равны между собой.
2. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.

Исходя из первого свойства, можем установить равенство длин сторон ромба:
СК = КД = ДМ = МС

Теперь найдем длины этих сторон, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат.

1. Найдем длину стороны СК:
d(С, К) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(1 - m)² + (4 - 2)²] = √[(1 - m)² + 2²] = √[(1 - m)² + 4]

2. Найдем длину стороны КД:
d(К, Д) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(2 - 1)² + (n - 4)²] = √[1 + (n - 4)²] = √[1 + (n - 4)²]

3. Диагонали СД и КМ являются биссектрисами друг друга, поэтому их длины равны:
длина диагонали СД = длина диагонали КМ

d(С, Д) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(2 - m)² + (n - 2)²]
d(К, М) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(1 - 1)² + (0 - 4)²] = √[0 + 4²] = 4

Теперь мы имеем следующие равенства сторон и диагоналей:
d(С, К) = √[(1 - m)² + 4] = d(К, М) = 4
d(С, К) = d(К, Д) = √[1 + (n - 4)²]
d(С, Д) = d(Д, М) = √[(2 - m)² + (n - 2)²]

Из равенства длин сторон СК и КМ можем записать:
√[(1 - m)² + 4] = 4

Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:
[(1 - m)² + 4] = 4² = 16
(1 - m)² + 4 = 16
(1 - m)² = 16 - 4
(1 - m)² = 12

Раскроем скобку:
1 - 2m + m² = 12

Перенесем все члены уравнения в левую сторону:
m² - 2m + 1 - 12 = 0
m² - 2m - 11 = 0

Данное уравнение является квадратным. Решим его с помощью квадратного корня.

Дискриминант формулы: D = b² - 4ac
D = (-2)² - 4 * 1 * (-11)
D = 4 + 44
D = 48

Найдем корни уравнения, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (-(-2) + √48) / (2 * 1) = (2 + √48) / 2 = 1 + √12
x₂ = (-(-2) - √48) / (2 * 1) = (2 - √48) / 2 = 1 - √12

Таким образом, одно из возможных значений переменной m равно 1 + √12, а другое равно 1 - √12.

Теперь рассмотрим равенства длин диагоналей:
√[(1 - m)² + 4] = √[(2 - m)² + (n - 2)²]

Воспользуемся найденными значениями переменной m:

1 + √12 - m = 2 - m
√[(2 - (1 + √12))² + (n - 2)²] = 4

Упростим равенства:

1 + √12 - m = 2 - m
- √12 = 2 - 2m
√144 - √12 = n - 2
10 - √12 = n - 2

Теперь решим уравнение относительно переменной n:

10 - √12 = n - 2
n = 10 - √12 + 2
n = 12 - √12

Итак:
m = 1 + √12 или m = 1 - √12
n = 12 - √12.

Таким образом, переменная m может равняться либо 1 + √12, либо 1 - √12, а переменная n равна 12 - √12.