Найдите угол, смежный с углом 22гр. Разность двух смежных углов равна 46гр.
Найдите меньший из этих углов

👇

Открыть все ответы

Ответ:

Вероника1306

16.07.2022

Периметр 20-угольника равен 20 * 21, тогда точки делят периметр на отрезки длины 20 * 21/21 = 20 < 21. Значит, найдётся сторона 20-угольника, содержащая две точки 21-угольника.

Пусть C1C2C3...C21 - 21-угольник, A1A2A3...A20 - 20-угольник, и точки C1 и C20 лежат на A20A1. Обозначим C1A1 = 1 - x, тогда A1C2 = 19 + x, C2A2 = 2 - x, A2C3 = 18 + x, ..., C20A20 = 20 - x, A20C21 = x. Очевидно, 0 ≤ x ≤ 1.

Разность площадей 20-угольника и 21-угольника равна сумме площадей треугольников C1A1C2, C2A2C3, C3A3C4, ..., C20A20C21. Так как все углы C1AC2, ..., C20A20C21 равны между собой и равны 180° - 360°/20 = 180° - 18°, то сумма площадей равна
S = 1/2 sin(180° - 18°) * ((1 - x)(19 + x) + (2 - x)(18 + x) + ... + (20 - x) x) = sin 18° ((1 - x)(19 + x) + (2 - x)(18 + x) + ... + (20 - x)x)/2

S(x) - квадратный трёхчлен относительно x, старший коэффициент отрицателен, поэтому максимум достигается в вершине квадратичной параболы. Так ка S(x) = S(1 - x), то парабола S(x) симметрична относительно x = 1/2, а значит, максимальное значение равно S(1/2).

Осталось вычислить значение. Выписываю сумму произведений в скобках:
0,5 * 19,5 + 1,5 * 18,5 + 2,5 * 17,5 + ... + 19,5 * 0,5 = (10 - 9,5)(10 + 9,5) + (10 - 8,5)(10 + 8,5) + ... + (10 - 0,5)(10 + 0,5) + (10 + 0,5)(10 - 0,5) + ... (10 + 9,5)(10 - 9,5) = 20 * 10² - 2 * 0.5² (1² + 3² + 5² + ... + 17² + 19²) = 2000 - 0.5 * 1330 = 1335
1² + 3² + ... + 19² можно посчитать вручную на листочке.

S(0.5) = 1335 sin18° / 2 - максимальное значение.

Вершины выпуклого 21-угольника расположены на сторонах правильного 20-угольника со стороной 21 так,

Вершины выпуклого 21-угольника расположены на сторонах правильного 20-угольника со стороной 21 так,

4,5(37 оценок)

Ответ:

all271

16.07.2022

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники являются подобными

Доказательство:

Пусть $\angle A=\angle A_1,~\angle B=\angle B_1.$ Так как сумма углов треугольника равна 180°, то для треугольников ABC и A₁B₁C₁ можем записать равенства:

$\angle A+\angle B+\angle C=180а,~~~~ \angle A_1+\angle B_1+\angle C_1=180а$

Выражаем из первого равенства угол С, а из второго равенства угол C₁, получим :

$\angle C=180а-\angle A-\angle B,~~~ \angle C_1=180а-\angle A_1-\angle B_1$ , тогда $\angle C=\angle C_1$ , то есть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ углы соответственно равны.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

То есть, $\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} =\dfrac{AC\cdot AB}{A_1C_1\cdot A_1B_1}$ - для $\angle A=\angle A_1$

Так как $\angle C=\angle C_1$ , то $\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} =\frac{CB\cdot CA}{C_1B_1\cdot C_1A_1}$

Приравнивая, получим $\displaystyle \frac{CB\cdot CA}{C_1B_1\cdot C_1A_1} =\frac{AC\cdot AB}{A_1C_1\cdot A_1B_1}$ , получим $\displaystyle \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$