Для нахождения скорости точки по прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = 1 + 3t и y = 2 - 4t, мы будем использовать связь между скоростью точки и её параметрическим представлением.
Итак, чтобы найти скорость точки, нам нужно выразить t через x или y, а затем продифференцировать это выражение по времени.
Первое уравнение x = 1 + 3t можно решить относительно t. Вычтем 1 из обеих сторон и разделим на 3:
3t = x - 1
t = (x - 1) / 3.
Теперь подставим это выражение для t во второе уравнение y = 2 - 4t:
y = 2 - 4((x - 1) / 3)
y = 2 - (4/3)(x - 1)
y = 2 - (4/3)x + 4/3
y = (4/3)(1 - x) + 2.
Мы получили параметрическое представление для y через x. Теперь продифференцируем это выражение по времени, чтобы найти скорость точки.
d/dt (y) = d/dt [ (4/3)(1 - x) + 2 ]
d/dt (y) = - (4/3) * d/dt (x)
d/dt (y) = - (4/3) * d(x)/dt.
Таким образом, скорость точки v будет равна:
v = - (4/3) * d(x)/dt.
Нам осталось только найти производную dx/dt для уравнения x = 1 + 3t.
Возьмем производную от обеих сторон:
d(x)/dt = d/dt [1 + 3t]
d(x)/dt = 3.
Подставим эту производную в формулу для скорости:
v = - (4/3) * d(x)/dt
v = - (4/3) * 3
v = - 4.
Таким образом, скорость точки по прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = 1 + 3t и y = 2 - 4t, равна -4.
Обоснование:
Мы использовали связь между скоростью точки и её параметрическим представлением, а именно, выразили t через x (или y) и продифференцировали соответствующее выражение для получения скорости. Затем нашли производную dx/dt и подставили её в формулу для скорости. Полученный ответ -4 указывает на то, что точка движется по прямой в отрицательном направлении по оси x со скоростью 4 единицы в единицу времени.
Итак, чтобы найти скорость точки, нам нужно выразить t через x или y, а затем продифференцировать это выражение по времени.
Первое уравнение x = 1 + 3t можно решить относительно t. Вычтем 1 из обеих сторон и разделим на 3:
3t = x - 1
t = (x - 1) / 3.
Теперь подставим это выражение для t во второе уравнение y = 2 - 4t:
y = 2 - 4((x - 1) / 3)
y = 2 - (4/3)(x - 1)
y = 2 - (4/3)x + 4/3
y = (4/3)(1 - x) + 2.
Мы получили параметрическое представление для y через x. Теперь продифференцируем это выражение по времени, чтобы найти скорость точки.
d/dt (y) = d/dt [ (4/3)(1 - x) + 2 ]
d/dt (y) = - (4/3) * d/dt (x)
d/dt (y) = - (4/3) * d(x)/dt.
Таким образом, скорость точки v будет равна:
v = - (4/3) * d(x)/dt.
Нам осталось только найти производную dx/dt для уравнения x = 1 + 3t.
Возьмем производную от обеих сторон:
d(x)/dt = d/dt [1 + 3t]
d(x)/dt = 3.
Подставим эту производную в формулу для скорости:
v = - (4/3) * d(x)/dt
v = - (4/3) * 3
v = - 4.
Таким образом, скорость точки по прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = 1 + 3t и y = 2 - 4t, равна -4.
Обоснование:
Мы использовали связь между скоростью точки и её параметрическим представлением, а именно, выразили t через x (или y) и продифференцировали соответствующее выражение для получения скорости. Затем нашли производную dx/dt и подставили её в формулу для скорости. Полученный ответ -4 указывает на то, что точка движется по прямой в отрицательном направлении по оси x со скоростью 4 единицы в единицу времени.