1) Проведен отрезок от точки А (1;-1) до точки В (-4;5). До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?
Разность координат между точками А и В равна (-4-1=-5; 5-(-1)=6) = (-5; 6).
Утроенная разность равна (-5*3=-15; 6*3=18) = (-15; 18).
ответ: координаты точки С, до которой надо продлить отрезок, равны:
С(1-15 = -14; -1+18 = 17) = (-14; 17).
2) Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. Найти траекторию точки.
Обозначим координаты неизвестной точки как M(x,y). В декартовой системе координат расстояние между точками рассчитывается по формуле d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²) .
Тогда, согласно условию задачи, получаем
|AB² − BM²| = 4 => |(x−xA)²+(y−yA)²− (x−xB)²−(y−yB)²| = 4.
Подставим координаты точек A(1;−3),B(2;-1), получаем
|(x-1)²+(y+3)²− (x−2)²−(y+1)²|=4=> |x²-2x+1+y²+6у+9 − x²-4x−4-y²-2у-1|=4,
| -2x +6у+9 -4x−4 -2у|=4=> |-6x +4y+5|=4.
Раскрыв модуль, получаем уравнения двух параллельных прямых.
ответ: у = 1,5х – (9/4) и у = 1,5х – (1/4).
3)Написать уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен угловому коэффициенту прямой 3х -5у + 5 = 0, а большая ось равна радиусу окружности х² + у² - 12х + 6у – 55 = 0.
Находим угловой коэффициент прямой 3х - 5у + 5 = 0.
у = (3/5)х + 1, к = (3/5) = 0,6.
Уравнение окружности х² + у² - 12х + 6у – 55 = 0 приведём к каноническому виду.
Выделим полные квадраты:
(х² – 12х + 36) – 36 + (у² + 6у + 9) - 9 - 55 = 0,
(х – 6)² + (у + 3)² = 10². Откуда получаем радиус окружности, равный 10.
Большая полуось эллипса равна а = 10/2 = 5.
Находим расстояние от центра до фокуса эллипса: с = е*а = 0,6*5 = 3.
Теперь можно определить малую полуось: в = √(а² – с²) = √(25 – 9) = √16 = +-4.
ответ: уравнение эллипса (х²/5²) + (у²/4²) = 1
незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю незнаю