Question

4 В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 все ребра равны а
Используя векторы, найдите:
а) угол между прямыми А1В и
AC;
б) расстояние между серединами отрезков AB и В1С.​

Answer 1

Чтобы ответить на данный вопрос, давайте разделим его на две части и рассмотрим каждую из них по отдельности.

а) Найдем угол между прямыми A1B и AC.

Для начала вспомним определение угла между векторами. Угол между двумя векторами вычисляется с использованием скалярного произведения.

Пусть AB = a, AC = a и A1C = a. Так как все ребра треугольной призмы равны a, значит, векторы AB и AC будут иметь одинаковую длину.

Теперь найдем координаты этих векторов.

AB = B - A = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
AC = C - A = (xC - xA, yC - yA, zC - zA)

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

AB • AC = (xB - xA)(xC - xA) + (yB - yA)(yC - yA) + (zB - zA)(zC - zA)

Это даст нам значение скалярного произведения AB и AC. Далее воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами с использованием скалярного произведения:

cos φ = (AB • AC) / (|AB| * |AC|)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.

Теперь найдем значения длин векторов AB и AC:

|AB| = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2)
|AC| = √((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2 + (zC - zA)^2)

Подставим значения в формулу для нахождения угла:

cos φ = (AB • AC) / (√((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2) * √((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2 + (zC - zA)^2))

Теперь, чтобы найти угол φ, достаточно взять обратный косинус от полученного значения cos φ:

φ = arccos((AB • AC) / (√((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2) * √((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2 + (zC - zA)^2)))

Это будет угол между прямыми A1B и AC.

б) Теперь найдем расстояние между серединами отрезков AB и B1C.

Для начала найдем координаты середин отрезков AB и B1C.

Середина отрезка AB = (xA + xB) / 2, (yA + yB) / 2, (zA + zB) / 2
Середина отрезка B1C = (xB1 + xC) / 2, (yB1 + yC) / 2, (zB1 + zC) / 2

Теперь найдем координаты вектора, соединяющего эти середины:

M = (xM, yM, zM) = (xA + xB) / 2 - (xB1 + xC) / 2, (yA + yB) / 2 - (yB1 + yC) / 2, (zA + zB) / 2 - (zB1 + zC) / 2

Затем найдем длину вектора M:

|M| = √((xM)^2 + (yM)^2 + (zM)^2)

Таким образом, расстояние между серединами отрезков AB и B1C равно |M|.