1) Рассмотрим рис.1 вложения Трапеция равнобедренная, т.к. в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. ВК=ВД по условию, АВ=СД как боковые стороны равнобедренной трапеции. В окружности равные хорды опираются на равные дуги. . Равные хорды ВК и ВД опираются на равные дуги, следовательно, на равные дуги опираются вписанные углы ВАК и ВСД. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Вписанные углы АКВ и СВД опираются на равные дуги и потому равны. В треугольниках АВК и СВД по два равных угла, следовательно, равны в них и углы АВК и ВДС ( на рисунке равные углы окрашены в одинаковый цвет). В этих треугольниках между равным сторонами АВ = ДС и ВК = ВД содержатся равные углы - отсюда эти треугольники равны. АК=ВС=4 см -------------------------------------- 2) Сделаем рисунок. Во вложении это рис.2 Пусть касательная к окружности будет МН, точка касания А, хорда, имеющая с касательной общую точку на окружности, АВ. Проведем через центр окружности ещё одну хорду с общей точкой с касательной в точке А. Эта хорда - диаметр АС. Угол САН - прямой ( диаметр к точке касания перпендикулярен касательной) и равен половине дуги АеВдС, которая равна 180 градусов Угол НАС равен сумме углов САВ и ВАН, равен половине градусной меры дуги СдВеА и равен 90 градусам. Дуга АеВдС равна сумме дуг ВдС и ВеА Угол САВ, как вписанный, равен половине градусной меры дуги ВдС Так как половины дуг АеВ и ВдС в сумме равны 90 градусам, угол НАВ равен половине градусной меры дуги АеВ, что и требовалось доказать.
<A+<B=180°, значит АD параллельна ВС (так как <A и <B - внутренние односторонние при прямых AD и ВС и секущей АВ). АВ и CD параллельны (дано). Следовательно, четырехугольник АВСD - параллелограмм по признаку: "Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм." и ВС=AD, а АО=ОС, ВО=ОD по свойству диагоналей параллелограмма.. ВМ=КD (дано) и треугольники ВМО и ОDK равны по двум сторонам и углу между ними (ВМ=KD, ВО=ОD,<МBO=<ODК как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей ВD. Следовательно, МО=ОК (соответственные стороны равных треугольников), что и требовалось доказать.
BA=AC, так как по условию угол CBA=BCA.