Геометрия: Найди угол между векторами (5;10) и (15;5)

Найди угол между векторами (5;10) и (15;5)

👇

Увидеть ответ

Открыть все ответы

Ответ:

a17mich17m

28.12.2021

Пусть стороны ромба AB+BC+CD+AD=2x

.
Тогда и диагональ BD=2x

. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то $BO=OD= \frac{BD}{2} = \frac{2x}{2} =x$ .
По теореме Пифагора найдем АО и СО: $AO=CO= \sqrt{AB^2-BO^2} =\sqrt{(2x)^2-x^2} = \sqrt{3x^2} =x \sqrt{3}$

Введем систему координат с началом в точке О, причем, так как диагонали ромба пересекаются по прямым углом, ось х сонаправим с вектором ОС, а ось у сонаправим с вектором ОВ.
Находим координаты точек О, А, В, С,D:
О(0; 0); A(-x√3; 0); B(0; x); C(x√3; 0); D(0; -x)

Угол α между двумя векторами $\vec{a}\{a_x; \ a_y\}$ и $\vec{b}\{b_x; \ b_y\}$ можно найти по формуле: $\alpha =\arccos \cfrac{a_xb_x+a_yb_y}{ \sqrt{a_x^2+a_y^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

а)
Каждая координата вектора высчитывается как разность между соответствующими координатами конца и начала вектора:
$\vec{AB}=\{0-(-x \sqrt{3}); \ x-0 \}=\{x \sqrt{3}; \ x \}
\\\
\vec{AD}=\{0-(-x \sqrt{3}); \ -x-0 \}=\{x \sqrt{3}; \ -x \}
\\\
 \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot x \sqrt{3}+x\cdot(-x) }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+x^2 } \sqrt{(x \sqrt{3})^2+(-x)^2} } =
\\\
=\arccos\cfrac{3x^2-x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{2x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos\cfrac{1 }{2 } = \cfrac{ \pi }{3}$
Или: воспользоваться тем что треугольник АВD равносторонний, а значит каждый его угол равен 60 градусов

б)
$\vec{AB}=\{x \sqrt{3}; \ x \}
\\\
\vec{DA}=-\vec{AD}=\{-x \sqrt{3}; \ x \}
\\\
 \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot (-x \sqrt{3})+x\cdot x }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+x^2 } \sqrt{(-x \sqrt{3})^2+x^2} } =
\\\
=\arccos\cfrac{-3x^2+x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{-2x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos(-\cfrac{1 }{2 } )= \cfrac{ 2\pi }{3}$
Или: воспользоваться тем что искомый угол можно найти как смежный с найденным в пункте а), а значит равный 180-60=120 градусов

в)
$\vec{BA}=-\vec{AB}=\{-x \sqrt{3}; \ -x \}
\\\
\vec{AD}=\{x \sqrt{3}; \ -x \}
\\\
 \alpha =\arccos\cfrac{-x \sqrt{3}\cdot x \sqrt{3}-x\cdot (-x) }{ \sqrt{(-x \sqrt{3})^2+(-x)^2 } \sqrt{(x \sqrt{3})^2+(-x)^2} } =
\\\
=\arccos\cfrac{-3x^2+x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{-2x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos(-\cfrac{1 }{2 } )= \cfrac{ 2\pi }{3}$

г)
$\vec{OC}=\{x \sqrt{3}-0; \ 0-0 \} =\{x \sqrt{3}; \ 0 \} 
\\\ 
\vec{OD}=\{0-0; \ -x-0 \} =\{0; \ -x \} 
\\\ 
\alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot 0+0\cdot (-x) }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+0^2 } \sqrt{0^2+(-x)^2} } =\arccos0= \cfrac{ \pi }{2}$
Или: воспользоваться тем что диагонали ромба перпендикулярны, а значит искомый угол равен 90 градусов

д)
$\vec{AB}=\{x \sqrt{3}; \ x \} \\\ 
\vec{CD}=\{0-x\sqrt{3}; \ -x-0 \} =\{-x\sqrt{3}; \ -x \} 
\\\
 \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot (-x \sqrt{3})+x\cdot (-x) }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+x^2 } \sqrt{(-x \sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \\\ =\arccos\cfrac{-3x^2-x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{-4x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos(-1)= \pi$
Или: воспользоваться тем что заданные векторы лежат на параллельных сторонах ромба, но направлены в противоположные стороны, значит угол равен 180 градусов

Диагонали ромба abcd пересекаются в точке o, и диагональ bd равна стороне ромба. найдите угол между

Диагонали ромба abcd пересекаются в точке o, и диагональ bd равна стороне ромба. найдите угол между

4,7(25 оценок)

Ответ:

танкистка7

28.12.2021

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

а)
$(\vec{AB}\cdot \vec{AC})=AB\cdot AC\cdot \cos BAC$
По условию все стороны треугольника равны а, а все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов:
$(\vec{AB}\cdot \vec{AC})=a\cdot a\cdot \cos \frac{ \pi }{3} =a\cdot a\cdot \frac{ 1 }{2} = \frac{a^2}{2}$

б)
$(\vec{AC}\cdot \vec{CB})=AC\cdot CB\cdot \cos (\vec{AC}; \ \vec{CB})$
Чтобы определить угол между векторами АС и СВ нужно совместить их начала, например, перенести параллельным переносом вектор АС так, чтобы точка А совместилась с точкой С. Тогда будет видно, что углом между этими векторами будет угол, смежный с углом АСВ, равный 180-60=120 градусов:
$(\vec{AC}\cdot \vec{CB})=a\cdot a\cdot \cos \frac{ 2\pi }{3} =a\cdot a\cdot(- \frac{ 1 }{2} )= -\frac{a^2}{2}$

в)
$(\vec{AC}\cdot \vec{BD})=AC\cdot BD\cdot \cos (\vec{AC}; \ \vec{BD})$
Так как BD высота к АС, то векторы ВD и АС перпендикулярны, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0:
$(\vec{AC}\cdot \vec{BD})=AC\cdot BD\cdot \cos \frac{ \pi }{2} =AC\cdot BD\cdot 0=0$

г)
Произведение вектора само на себя (скалярный квадрат) равно квадрату его модуля, угол в данном случаем между одним и тем же вектором равен нулю:
$(\vec{AC}\cdot \vec{AC})=AC\cdot AC\cdot \cos 0=AC^2\cdot1=AC^2=a^2$

Вравностороннем треугольнике abc со стороной a проведена высота bd. вычислите скалярное произведение