Около правильного многоугольника можно описать единственную окружность.
Доказательство:
А₁А₂А₃... - правильный многоугольник.
Пусть биссектрисы углов А₁ и А₂ пересекаются в точке О.
Так как углы А₁ и А₂ многоугольника равны, то равны и углы 1 и 2.
Тогда ΔА₁ОА₂ - равнобедренный, т.е. точка О равноудалена от вершин А₁ и А₂.
∠3 = ∠2, так как ОА₂ биссектриса, центральные углы правильного многоугольника равны (∠А₁ОА₂ = ∠А₂ОА₃), сторона ОА₂ общая для треугольников А₁ОА₂ и А₂ОА₃, значит треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Тогда ОА₃ = ОА₁.
Аналогично можно доказать, что равны и остальные треугольники. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин, значит она - центр описанной окружности.
Эта окружность будет описана и около треугольника, например, А₁А₂А₃, а вокруг треугольника можно описать единственную окружность, значит данная окружность - единственная, которую можно описать около правильного многоугольника.
Это верно для произвольного 4 угольника (трапеция частный случай):
Проведем диагональ x.
Запишем неравенство треугольника abx: a+b>x ;
Запишем неравенство треугольника cdx : c+x>d ;
Сложим эти неравенства почленно: a+b+c+x>x+d .
Откуда: a+b+c>d .
Таким образом , любая сторона четырехугольника меньше суммы трех других его сторон , что ,соответственно, справедливо и для трапеции.
Ну наверное самые любознательные спросят :,,А верно ли это для произвольного многоугольника?'' Таки да это так :) . Но вот как это доказать? Пусть эта задача останется вам.Дам небольшую подсказку : примените похожий метод как для 4 угольника ,используя метод математической индукции. Удачи!
a) 75, 105; б) 80, 100
Объяснение:
а) х+у=180
y=30+x
x+x+30=180
2x=150
x=75
y=105
б) х/у=4:5
возьмем одну часть за с, тогда х = 4с, у = 5с.
4с+5с=180
9с=180
С=20
х=80
у=100
в) 2х=3у
2х+3у=180
Т. к. 2х = 3у, то
3у+3у=180
6у=180
у=30
2х=90
3у=90