(Нудная задача. Здесь и далее курсив можно не читать.) Центр вписанного шара O1 проектируется на основание ABC в центр правильного треугольника ABC (пусть это O2) - это следует из того, что пирамида "переходит в себя" при повороте вокруг SO2 на 120°; Далее, линия соединяющая центры шаров OO1 проектируется на основание на отрезок AO2. Этот отрезок - радиус описанной вокруг ABC окружности, он равен удвоенному радиусу вписанной в ABC окружности и равен высоте пирамиды, поскольку ребро наклонено к основанию под углом в 45°. Далее, прямая BD - это то же самое, что и прямая O2D, где D - середина AC. Ясно, что O2D перпендикулярно плоскости AOD, так как перпендикулярно двум прямым в этой плоскости - AC и OA (OA перпендикулярно всей плоскости ABC). Поэтому нужный угол - это угол ADO, и для его вычисления надо найти радиус шара с центром в O. Я обозначу этот радиус R, а радиус вписанного в пирамиду шара r. 1) Пусть радиус ВПИСАННОЙ в ABC окружности равен 1. То есть O2D = 1; (Это не ограничивает общность.) Тогда AO2 = 2 = SO2; сторона основания равна 2√3; площадь правильного тр-ка в основании Sabc = (2√3)^2*√3/4 = 3√3; апофема равна SD = √(2^2 + 1^2) = √5; площадь боковой грани равна 2√3*√5/2 = √15; площадь полной поверхности пирамиды равна Spol = 3√3(√5 + 1); объем пирамиды равен V = Sabc*SO2/3 = (3√3)*2/3 = 2√3; отсюда радиус вписанного в пирамиду шара равен r = 3V/Spol = 2/(√5 + 1); (Это соотношение совершенно аналогично известному S = pr для треугольника. И получается оно точно так же - надо соединить центр вписанного шара с вершинами и рассматривать пирамиду как сумму - в данном случае - четырех пирамид с высотами, равными радиусу вписанного шара. Отсюда V = Spol*r/3;) 2) Фигура AOO1O2 - прямоугольная трапеция. Её основания равны R и r, а боковые стороны R + r и 2 (вот здесь учитывается касание шаров, ясно, что точка касания лежит на линии центров). Поскольку r уже вычислено, найти R нетрудно. (R + r)^2 = (R - r)^2 + 2^2; или 4Rr = 4; R = 1/r; (занятное соотношение); R = (√5 + 1)/2; поскольку AD = √3; то искомый угол ADO = Ф имеет тангенс tg(Ф) = (√5 + 1)/2√3;
1)дано: циліндр, авсd- переріз, вd-діагональ, r=ао=од=6 см, кут вdа=60 градусівзнайти: ав, s abcdз трикутника вdа ( кут ваd= 90 градусів)tg60= ab/ad ad=ao+od=12 смab=ad tg60ab=12 * корінь з 3осьовим перерізом є прямокутник, отжеs=ab*ads=12коренів з 3 * 12=144 корінь з 3 (см2)
2)осьовим перерізом є прямокутник, а прямокутник, у якого діагоналі перпендикулярні - це квадрат, отже висота = 2r=10 см3) з трикутника аво во=r=5см, к-середина ав, ко=4см,з трикутника вок (кут вко = 90 градусів)за т.піфагора вк= корінь квадратний 25-16= 3 смав=2вк=6 смас=h=8 cмs= 8*6=48 (cм2)4) ао=r=5см, ka і кв - твірні, ka=13 cм , sakb-? з трикутника коа (кут коа=90 градусів)ко=корінь з 169-25=корінь з 144=12s=ав*ко/2 ав=ao+ob=10s=10*12/2=60 (см2)