Через конец А отрезка AB длиной b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до нее равно а.
Решение.
Пусть в плоскости проведена прямая р.
Расстоянием от точки В до прямой р является длина перпендикуляра , те ВР⊥ р. AB⊥α ⇒ AB⊥AP.
По т о трех перпендикулярах : если наклонная ВР⊥ р ( прямой лежащей в плоскости ) , то и проекция АР⊥ р. Тогда расстоянием от точки А до прямой р будет длина перпендикуляра АР=а.
ΔАВР-прямоугольный , по т Пифагора ВР=√(а²+b²).
Фигура ВСPD- параллелограмм, так как противоположные стороны попарно параллельны. Значит СР=ВD, DP=ВC и АР=АD+ВC.
В равнобедренной трапеции диагонали равны. Значит АС=CP (так как СР=ВD).
Треугольник АСР - равнобедренный и прямоугольный (так как АС
перпендикулярна ВD, следовательно, перпендикулярна и СР).
В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота равна половине гипотенузы, то есть Н=(1/2)*АР.
Но АР=АD+ВC. Значит Н=(1/2)*(АD+ВC).
(1/2)*(АD+ВC) - это средняя линия трапеции АВСD, а высота треугольника Н равна высоте трапеции.
То есть высота равна средней линии трапеции.
ответ: высота трапеции равна 4.