В треугольнике ABC AB=12, AC=10, BC=8. Точки K, L и M лежат на прямых AB, BC и CA соответственно так, что K — середина AB, AM=BL=1. Могут ли перпендикуляры, которые восставлены из этих точек к прямым, на которых они лежат, пересекаться в одной точке? Да, если точки M и L лежат на сторонах треугольника
Да, если точка M лежит на стороне треугольника, а точка L лежит на продолжении стороны
Да, если точка M лежит на продолжении стороны треугольника, а точка L лежит на стороне
Да, если точки M и L лежат на продолжениях сторон треугольника
Нет, не могут
Пусть P - произвольная точка
PK, PL, PM - перпендикуляры к сторонам треугольника ABC
По теореме Пифагора для треугольников PAK и PBK
PK^2 =PA^2 -AK^2 =PB^2 -BK^2 <=> PA^2 -PB^2 =AK^2 -BK^2
(Доказали, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций.)
PB^2 -PC^2 =BL^2 -CL^2
PC^2 -PA^2 =CM^2 -AM^2
Сложим:
AK^2 -BK^2 +BL^2 -CL^2 +CM^2 -AM^2 =0 <=>
AK^2 +BL^2 +CM^2 =CL^2 +BK^2 +AM^2
Если перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, то выполняется это равенство.
(Обратное док-во: разность квадратов наклонных для двух пересекающихся перпендикуляров подставляем в доказанное равенство - получаем разность квадратов наклонных для третьего отрезка - тогда он также является перпендикуляром.)
Проверим данные из условия
AK=BK=6, BL=AM=1
CM= {9, 11}
CL= {7, 9}
CM^2 =CL^2 в одном случае:
точка M на стороне, точка L на продолжении стороны.