Площадь полной поверхности данного правильного тетраэдра равна 80 см кв. найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра. ответ дайте в см. кв.
Проведем высоту BN. Т.к он равнобедеренный, то AN=NC=2корня из 3. Рассмотрим треугольник АВN. Угол А=30 градусов(180-120):2), угол АNB=90, значит АВN=30. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Т.к гипотенуза неизвестна, то пусть этот катет х, а гипотенуза=2х. Найдем их по теореме Пифагора. х^2+(2корня из3)^2=4х^2 3х^2=12 х^2=4 х=2-катет,это высота, а гипотенуза равна 4-это сторона АВС Найдем площадь S=1/2ah S=1/2*2*4корня из 3=4корня из 3 площадь АВС. Рассмотрим треугольник МВН. МН-расстояние между серединами сторон, значит это средняя линия, и треугольник МВН подобен АВС. Рассмотрим МВО, О-середина МН. В нем такие же углы, как и в АВС, значит МВ=2, а ВО=1. Найдем катет ВО, он же высота в МВО. х^2+1^2=2^2 х=корень из 3, значит МН=2 корня из 3 Найдем площадь МВН. S=1/2ah=1/2*2корня из3*1=корень из3. S ABC/S MBH=4корня из 3/корень из 3=4. Пусть расстояние между АМ и НС-отрезок FD, их середина Т. Рассмотрим FBD.
Трудная задачка. Тут надо представлять площади треугольников. Во-первых, площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ABK, BKC,CKD и AKD.Площади треугольников ABK и DCK соотносятся как 4:1, угол BKA= углу DKC(вертик.), площадь треугольника равна половине произведения сторон треугольника, образующих угол на его синус, тогда площадь треугольника KCD равна 0,5*4x( 4x - этоKD, x - это BK)*KC*sinA, площадь треугольника AKB равна 0,5*x*AK*sinA, сократив дробь, мы получим AK=KC, пусть это y. Площадь треугольника AKD равна 0,5*y*4x*sinA(синусы смежных углов равны), 2xysinA, мы знаем, что площадь CKD равна 0,5*4x*y*sinA, то есть площади обоих треугольников равны 96. Теперь с теми двумя: площади их будут равны 0,5*x*y*sinA, площади обоих равны по 26. А теперь складываем их площади, получаем площадь трапеции: 26*2+96*2=2(26+96)=244
Стороны правильного тетраэдра- правильные трегольники.
Площадь правильного треугольника S(треуг)=(a^2*sqrt{3}) /4.
Площадь поверхности правильного тетраэдра
S=4*(a^2*sqrt{3}) /4 = a^2*sqrt{3}.
a^2*sqrt{3}) = 80
a^2=80/sqrt{3}
a=sqrt{80/sqrt{3}} (см)
Ребро второго тетраэдра а1=а/4
Площадь полной поверхности второго тетраэдра равна
S1=(a/4)^2sqrt{3}=(a^2/16)sqrt{3}=(sqrt{80/sqrt{3}})^2 /16 *sqrt{3}=
=80sqrt{3}/(16sqrt{3})=5 (см2)