Question

№2 Даны векторы а
{5; -1; 2} и
в
{3; 2; -4}. Найдите
a  2b .
№3 Вершины ΔАВС имеют координаты:
А ( -1; 2; 3 ), В ( 1; 0; 4 ), С ( 3; -2; 1 ).
Найдите координаты вектора
АМ
, если АМ – медиана ΔАВС.
№4 Найдите угол между прямыми АВ и СD,
если А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и D(2; -3; 1).
№5 Изобразите систему координат Охуz и постройте точку
А (1;-2;-4). Найдите расстояния от этой точки до координатных
плоскостей.

Answer 1

№2 Для нахождения выражения a - 2b мы должны умножить вектор b на -2 и затем сложить его с вектором a. Затем поэлементно вычислим:

2b = 2 * {3; 2; -4} = {6; 4; -8}

a - 2b = {5; -1; 2} - {6; 4; -8} = {5 - 6; -1 - 4; 2 - (-8)} = {-1; -5; 10}

Ответ: a - 2b = {-1; -5; 10}.

№3 Чтобы найти координаты вектора АМ, где А - это точка (-1; 2; 3), B - это точка (1; 0; 4), C - это точка (3; -2; 1) и M - это середина стороны AB, мы должны взять половину от суммы координат точек A и B:

АМ = (А + В) / 2 = ((-1 + 1) / 2; (2 + 0) / 2; (3 + 4) / 2) = (0/2; 2/2; 7/2) = (0; 1; 7/2)

Ответ: координаты вектора АМ равны (0; 1; 7/2).

№4 Для нахождения угла между прямыми AB и CD, мы должны использовать формулу:

cosθ = (AB * CD) / (|AB| * |CD|)

где AB - это вектор, направленный от А (1; 1; 2) до В (0; 1; 1), CD - это вектор, направленный от C (2; -2; 2) до D (2; -3; 1), |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

AB = AB = {0 - 1; 1 - 1; 1 - 2} = {-1; 0; -1}
CD = {2 - 2; -3 - (-2); 1 - 2} = {0; -1; -1}

|AB| = √((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2
|CD| = √(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(0 + 1 + 1) = √2

AB * CD = (-1 * 0) + (0 * -1) + (-1 * -1) = 0 + 0 + 1 = 1

Подставим полученные значения в формулу:

cosθ = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2

Определим угол θ, используя таблицу значений тригонометрических функций:

θ = arccos(1/2) = 60°

Ответ: угол между прямыми AB и CD равен 60°.

№5 Система координат Охуz выглядит так:

```
z
|
| / y
| /
| /
------|/-------
x O
```

Чтобы построить точку А (1; -2; -4), мы перемещаемся вправо от начала координат на 1 по оси x, вниз на 2 по оси y и назад на 4 по оси z. Таким образом, точка А будет находиться в координатах (1; -2; -4).

Рассмотрим координатные плоскости: плоскость xy (плоскость, перпендикулярная оси z), плоскость xz (плоскость, перпендикулярная оси y) и плоскость yz (плоскость, перпендикулярная оси x).

Расстояние от точки А до плоскости xy равно |z-координате точки А|, то есть |(-4)| = 4.
Расстояние от точки А до плоскости xz равно |y-координате точки А|, то есть |-2| = 2.
Расстояние от точки А до плоскости yz равно |x-координате точки А|, то есть |1| = 1.

Ответ: расстояние от точки А до плоскости xy равно 4, расстояние от точки А до плоскости xz равно 2, и расстояние от точки А до плоскости yz равно 1.