Question

Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.

Answer 1

Дано:

Вершины трапеции

А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3)

МК - средняя линия

Найти:

Уравнение средней линии МК

Составим уравнение прямой АВ

$\dfrac{x - x_A}{x_B - x_A} = \dfrac{y - y_A}{y_B - y_A} = \dfrac{z - z_A}{z_B - z_A}$

$\dfrac{x - 3}{1 - 3} = \dfrac{y +1}{2+1} = \dfrac{z - z_A}{-1 - 2}$

$\dfrac{x - 3}{ - 2} = \dfrac{y +1}{3} = \dfrac{z - z_A}{-3}$

Таким образом, направляющий вектор прямой АВ

$\overline p(-2;3;-3)$

Проекции боковой стороны ВС на координатные оси равны

$BC_x = x_C - x_B = -1 - 1 = -2$

$BC_y = y_C - y_B = 1 - 2 = -1$

$BC_z = z_C - z_B = -3 + 1 = -2$

Найдём координаты точки К, принадлежащей боковой стороне ВС трапеции и, одновременно, средней линии.

$x_K = x_B + 0.5BC_x = 1 + 0.5 \cdot (-2) = 0$

$y_K = y_B + 0.5BC_y = 2 + 0.5 \cdot (-1) = 1.5$

$z_K = z_B + 0.5BC_z = -1 + 0.5 \cdot (-2) = -2$

Уравнение прямой МК, параллельной прямой АВ, то есть имеющей направляющий вектор $\overline p$ и проходящей через точку К

$\dfrac{x - x_K}{p_x} = \dfrac{y - y_K}{p_y} = \dfrac{z - z_K}{p_z}$

$\dfrac{x }{-2} = \dfrac{y - 1.5}{3} = \dfrac{z+2}{-3}$

Уравнение средней линии трапеции

$\dfrac{x }{-2} = \dfrac{y - 1.5}{3} = \dfrac{z+2}{-3}$